矩阵分析与应用 第1章

V?={x| Tx=?x}为T的不变子空间。

证明: 设V1为T的不变子空间，则任给x?V1有Tx?V1,从而 T2x=T(Tx)?V1,因此有Tkx?V1,对任何的非负整数成立。因此有V1为f(T)的不变子空间。

设x?N(f(T)), 则有f(T)x=0. 并且f(T)(Tx)=T(f(T)x)=0 因此Tx?N(f(T)),从而N(f(T))为T的不变子空间.

推论：若T为可逆变换，则T的不变子空间也是T?1的不变子空

间.

证明: 利用结论T?1可以表示为T的多项式,即T?1=g(T)可得结

论.

利用不变子空间简化线性变换的矩阵

定理1.27 设T是线性空间Vn的线性变换，且Vn可分解为s个T的不变子空间的直和 Vn=V1?V2?…?Vs 在每个不变子空间Vi中选取一个基

xi1,xi2,…,xini i =1,2,3,…,s

它们的合并构成Vn的一个基，则T在该个基下的矩阵为块对角矩阵 A=diag(A1,A2,…,As)

推论1： 线性变换可对角化的充要条件为存在一组特征向量构成的基。

推论2 设?1,?2,…,?k是线性变换T的全部的k互不相同的特征值，则T可对角化的充要条件为

dim(N(?1I?T))+ dim(N(?2I?T))+…+ dim(N(?kI?T))= n 推论3 若线性变换T有n个互不相同的特征值，则T可对角化。

Jordan 标准形

定理1.28 设T是复数域C上的线性空间Vn的线性变换， 任取Vn的一个基， T在该基下的矩阵为A， T的特征多项式 ?(?)=det(?I?A)=(???1)m1(???2)m2?(???s)ms

(m1+m2+…+ms=n)

则Vn可分解为不变子空间的直和 Vn=N1?N2?…?Ns 其中Ni={x|

(T??iI)mix=0, x?Vn}是线性变换(T??iI)mi的核空间。

若给每个子空间Ni选一个基，它们的并构成Vn 的基，且T在该个基下的矩阵为如下形式的对角块矩阵

?J1(?1)?J?????J2(?2)???? ??Js(?s)?其中

??i?0?Ji(?i)?????01?????i?00??0?1???i?

定义1.21 在上面的定义中 J称为矩阵A的Jordan 标准形，

Ji(?i)为(???I)对应的Jordan 块。

mii

定理. 设矩阵A为复数域C的矩阵， 特征多项式的分解?(?)=det(?I?A)=(???1)m1(???2)m2?(???s)ms

存在， 则存在非奇异矩阵P使得 P?1AP= J.

定理1.30 每个n阶复矩阵A都与一个Jordan 标准形相似，这个Jordan 标准形除去其中Jordan块的排列次序外，是由A唯一确定的。

欧氏(Euclid)空间

定义： 设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个x和y,按某种规则定义一个实数，用(x,y)表示，且满足下列四个条件： 1). 交换律：(x,y)=(y, x); 2). 分配律：(x,y+z)=(x, y)+(x,z) 3). 齐次性: (kx,y)=k (x,y), ? k?R

4). 非负性：(x,x)?0, 当且仅当 x=0时,(x,x)=0. 则称V为Euclid空间，简称欧氏空间或实内积空间.

思考：任意线性空间在它的两个向量能否定义内积， 若否，举例说明；若能，证明这一点。

例1．对于我们以前定义的线性空间V=Rn， x?y =((x13+y13)1/3,(x23+y23)1/3,…,(xn3+yn3)1/3 )T k☉x=k1/3?x

我们已经证明了这样定义的加法和数乘确实为线性空间。那么对于它的内积，我们可以定义为：(x,y)=(x1?y1)3 +(x2?y2)3+…+(xn?yn)3. 例2． 对于V=R+, x?y =x?y, k☉x=xk, 我们已经证明了这样定义的加法和数乘确实为线性空间。那么对于它的内积，我们可以定义为： (x,y)=logx?logy

例3． 对于例2的一维空间，我们可以使用笛卡尔乘积扩充为多维空间 V=R+?R+?…?R+, 对于任意x,y?V，x=(x1,x2,…,xn)T, y=(y1,y2,…,yn)T 定义 x?y =(x1?y1, x2?y2,…,xn?yn )T

k☉x=((x1)k, (x2)k,…,(xn)k)T,显然可以验证这样的加法和数乘确实构成一个线性空间。对于对于任意x,y?V，x=(x1,x2,…,xn)T, y=(y1,y2,…,yn)T 定义它们的内积为