第一章1.2.3空间中的垂直关系2教案学生版

1.2.3 空间中的垂直关系(二)

【学习要求】

1．理解面面垂直的定义，并能画出面面垂直的图形．

2．掌握面面垂直的判定定理及性质定理，并能进行空间垂直的相互转化． 3．掌握面面垂直的证明方法，并能在几何体中应用． 【学法指导】

借助对实例、图片的观察，提炼平面与平面垂直的定义；通过直观感知，操作确认，归纳平面与平面垂直的判定定理及性质定理；通过运用两定理感悟和体验面面垂直转化为线线垂直的思想方法. 填一填：知识要点、记下疑难点

1．两平面垂直的定义：如果两个相交平面的 交线 与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 互相垂直 ，就称这两个平面互相垂直．两个平面α，β互相垂直，记作： α⊥β . 2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的 一条垂线 ，则这两个平面互相垂直．

3．面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线 的直线垂直于另一个平面．

研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]

在第一大节，我们曾直观地看到，当一个平面通过另一个平面的垂线时，就给我们两个平面垂直的形象．这一小节我们将进一步研究平面与平面垂直的判定与性质． 探究点一 两平面垂直的定义及判断

问题1 如图，已知α∩β＝CD，BA⊥CD, BE⊥CD.那么直线CD与平面ABE有怎样的关系？为什么？

问题2 在问题1的图中，当∠ABE是什么角时，给我们两平面互相垂直的印象？

问题3 由问题2，你能总结出两平面垂直的定义吗？

问题4 在问题1的图形中，已知∠ABE为直角，那么直线BA与平面β有怎样的关系？为什么？

问题5 在问题1的图中，如果平面α过平面β的垂线BA，那么这两个平面是否相互垂直呢？说明理由．

问题6 由问题5你能得出怎样的结论？

问题7 如何画两个平面互相垂直的直观图？

例1 如图，已知：平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．

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跟踪训练1 如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，D是AB的中点，且AC＝BC， 求证：平面VAB⊥平面VCD.

例2 已知Rt△ABC中，AB＝AC＝a，AD是斜边BC上的高，以AD为折痕使∠BDC成直角(如图)． 求证：(1)平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2)∠BAC＝60°.

跟踪训练2 如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝BC＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.

探究点二 两平面垂直的性质

问题1 设平面α与平面β垂直，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，那么BA是否垂直平面β？

问题2 由问题1你能归纳出怎样的结论？

例3 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.

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跟踪训练3 如图，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E点为垂足． (1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

练一练：当堂检测、目标达成落实处 1．下列命题中正确的是 ( )

A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β

B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 2．设两个平面互相垂直，则 ( )

A．一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面

B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内 C．过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直

3．已知四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点， 求证：平面EBD⊥平面ABCD.

课堂小结：

1．判定面面垂直的方法主要有：(1)面面垂直的定义(使用较少)；(2)面面垂直的判定定理(使用最多)．在证明两个平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在现有的图中不存在，则可通过作辅助线来解决． 2．空间中的垂直关系相互转化图：

3．运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．

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