2003年小学数学奥林匹克预赛试卷、决赛(2)

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11．【解】因为5∶3＝65∶39，而19∶13＝57∶39，我们不妨设原来袋子里有57份红球与39份白球，65－57＝8，第一次加入的红球是8份；而13∶11＝65∶55，55－39＝16，即第二次加入了16份白球，16－8＝8，80÷8＝10，就是说，每份是10个球，所以原来袋子里共有（57＋39）×10＝960只球. 12．【解】因为两个不同时段耗电量相同，所以安装新电表后每度电的平均价为（0.28＋0.56）÷2＝0.42元，即每度电少交0.53－0.42＝0.11元，所以全年该户可节约

0.11×200×12－100＝164（元）.

决赛B卷：

1、6617280 2、5 3、96 4、1012658227848 5、48 6、

7、267 8、91 10、19 11、

150 12、30

1.【解】原式＝998877＋887766＋776655＋665544＋988776＋877665＋766554＋655443

＝665544×4＋111111×6＋655443×4＋111111×6 ＝（665544＋655443）×4＋111111×12 ＝1320987×4＋1333332 ＝6617280

2. 【解】原式＝1＋2＋1＋1 ＝5

3. 【解】余数总小于除数，只有较大的除数，才有可能得到较大的余数.我们用最大的两位数做除数进行试除，2003÷99＝20?23，显然2003÷98＝20?43，余数更大一些，并且在商不变时除数减少1，余数增加商的值，于是有2003÷96＝20?83；如果除数再减少，则商发生变化，2003÷95＝21?8，2003÷92＝21?71，2003÷91＝22?1，2003÷88＝22?67，2003÷87＝23?2，2003÷84＝23?71，除数再减少，就不可能出现大于83的余数了，所以2003除以一个两位数余数的最大值为83，此两位数为96.

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4. 【解】这个多位数末位是8，将8移至首位新数是原数8倍，即原数乘以8得新数，8×8＝64，新数的末位即原数的倒数第二位是4；48×8＝384，则新数的倒数第二位即原数的倒数第三位是8，依次类推，848×8＝6784，7848×8＝62784，27848×8＝222784，227848×8＝1822784，8227848×8＝65822784，58227848×8＝465822784，658227848×8＝5265822784，2658227848×8＝21265822784，12658227848×8＝101265822784，1012658227848×8＝8101265822784，符合条件，即原数是1012658227848.

5. 【解】两位记者包括路上所花时间不超过3小时，而路上往返为1小时，实际采访最多2小时，每采访一个顾客至少需要5分钟，所以最多可以采访的人数为2×60÷5×2＝48.这个最大数是可以实现的，例如在11：00～12：00，每位记者采访12人，共24人；在14：00～15：00，每位记者再采访12人，共24人，合计48人.或者不同时采访，例如一人在11：00到13：00采访，一人在15：00到17：00采访，接受采访的人数都能满足要求.

6. 【解】△ADC的面积为2＋5＝7，△BDC的面积为7＋3＝10，设△ADC的高为2，则△BDC的高为

，于是DE＝2，EC＝5，FC＝3÷（

）＝2.1，EF＝5

－2.1＝2.9，△BEF的面积为：＝.

7. 【解】3×5＝15，故前面两次报的数之和是以15的周期的一列数，2003÷5＝400?3，可知前15个数的三次报数分别如下表： 序 第一次报数 第二次报数 一、二次和 第三次报数 1 1 3 4 1 2 2 2 4 2 3 3 1 4 3 4 1 5 6 4 5 2 4 6 5 6 3 3 6 1 7 1 2 3 2 8 2 1 3 3 9 3 5 8 4 10 1 4 5 5 11 2 3 5 1 12 3 2 5 2 13 1 1 2 3 14 2 5 7 4 15 3 4 7 5 可见每15个数中，有2个符合条件，而2003÷15＝133?8，而前8个中，有1个符合条件，所以，第三次报的数等于前面两次报的数之和的学生有2×133＋1＝267（名）.

8. 【解】小明的成绩的十位数与个位数互唤,而班上其余同学的成绩不变，全班的平均分恰好比原来的平均分少了2分，说明互换后的分数比原分数刚好减少了全班人数的2倍，而全班为30多名学生，故原分数与换后分数之差应在62至78之间，并且是个偶数，小明原分数的十位数字比个位数字应大8，小明原分数为91分.91－19＝72，72÷2＝36人，该班共36名学生.

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9. 【解】因为为两个两位数之和，D＝1，又C×C×F×F＝，满足此

条件的只有2×2×6×6＝144，或3×3×4×4＝144，所以E＝4，144－66＝78，为两位数，所以C＝6，F＝2，A＝7，B＝8，所求的六位数为786142. 10. 【解】原有货＋12小时进货＝每车每时运货×9×12＝每车每时运货×108 （1）

原有货＋16小时进货＝每车每时运货×8×16＝每车每时运货×128 （2） （2）－（1）得：

4小时进货＝每车每时运货×20，即每小时进货需要5辆车1小时运完， 代入（1）得：原有货＝每车每时运货×48

现在3辆车运10个小时，积货为48＋（5－3）×10＝68×每车每时运货 4小时运走这些货需68÷4＝17辆车，另应增加2辆车与原有3辆车使到货没有新的积压，所以，共需新增17＋2＝19辆车.

11．【解】前4小时比后4小时多行60千米说明有30千米是返程逆水而行.如果前4小时均为顺水行驶则应比后4小时多行20×4＝80千米，也就是说顺水行50千米与逆水行30千米用相同时间，而50－30＝20刚好是顺水每小时比逆水多行的里程，即顺水速度为50千米，逆水速度为30千米，所以前4小时有1小时是逆水而行，甲、乙两港相距30×4＋30＝150（千米）.

12．【解】5分钟时小和尚挑回20千克水，7分钟时大和尚挑回60千克水，这时老和尚挑走50千克，还剩30千克；10分钟时，小和尚又挑回20千克，刚好50千克，被老和尚挑走，缸中无水；14分钟大和尚挑回60千克，老和尚挑走50千克，还剩10千克；15分钟小和尚挑回20千克，缸中有水30千克，20分钟小和尚挑回20千克，老和尚挑走50千克，此时缸中无水；21分钟大和尚挑回60千克，老和尚23分钟回来时挑走50千克，缸中还剩10千克，25分钟时小和尚挑回20千克，这时缸中有水30千克.即在25分钟内小和尚挑回5次共100千克，大和尚挑回3次共180千克，老和尚挑走5次共250千克，缸中有水100＋150－250＝30千克.

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排列组合

知识结构

一、 排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．

一般地，从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从n个不同的元素中取出m(m?n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做Pnm．

根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成：

步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法；

步骤2：从剩下的(n?1)个元素中任取一个元素排在第二位，有(n?1)种方法； ??

步骤m：从剩下的[n?(m?1)]个元素中任取一个元素排在第m个位置，有

n?（m?1）?n?m?1(种)方法；

由乘法原理，从n个不同元素中取出m个元素的排列数是

n（?n?1）（?n?2）??（?n?m?1）nn?1）（.n?2）（?n?m?1），即Pnm?（，这里，m?n，且等号

右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘．