7一元积分学的几何应用与重积分计算全程版(2013)

（三）三重积分计算(仅数一打印)

例1、???(x2?y2)dv，其中?由锥面x2?y2?z2与平面z?a（a?0）围成的区域.

?【解1】原式 ?2x?y?a??22dxdy?ax2?y222(x?y)dz?d??d??2???dz?002?aa?10?a5.

【解2】原式?【解3】原式???a0dz2x?y2?z2???40(x2?y2)dxdy??dz?d???3d??000acos?03a2?z?10a5.

2?0d??d??2?(r2sin2?cos2??r2sin2?sin2?)r2sin?dr

acos?0?5a.

0010例2、???(x2?2y2?3z2)dv，其中?是由球面x2?y2?z2?1所围成的闭区域. ??d??4sin?d????r4dr ?【解1】因区域?具有轮换性，则故原式 ????xdv????ydv????zdv

???222???(x?2?y2)dv?2奇偶对称0?z?1?x2?y2???(x2?y2)dv

2?11??2?2x2?y2?1??dxdy?1?x2?y20(x?y)dz?2?d???d??00220?2dz?1?z28?. 15【解2】原式?2dz0?1x2?y2?1?z2??(x?y)dxdy?2?dz?d??002212?0?3d??8?. 15【解3】原式?例3、计算

?122?8222222?d?d?r.r.sin?dr??. (x?y?z)dv?0?0?03153????????x2?y2dv，?由平面z?2,z?8以及曲面S围成，其中S是由曲线

?y2?2z绕z轴旋转所生成的旋转面. ??x?0解： 原式??82dz2x?y2?2z??x?ydxdy??dz?d??202282?2z0?2d??1984?. 15例4、计算I?解： I?2?????x2?y2?z2?1dxdydz，其中?:x2?y2?z?1．

222222(x?y?z?1)dxdydz?(1?x?y?z)dxdydz ???????1?2?40??d??d??01cos?0(r?1)rsin?dr??d??d??(1?r)r2sin?dr?040022??1?6(2?1)．

222例5、求??{(x,y,z)|x?y?z?1,z?0}上的连续函数f(x,y,z)，

使f(x,y,z)?x?y?4z提示：令

???f(x,y,z)dv?3．

??????f(x,y,z)dv?A，则A?4A???zdv?4??A??4?,A?4?． ??1

三、课后练习

（一）一元积分学的几何应用 1（A）、曲线y?x(x?1)(2?x)与x轴所围成图形的面积可表为（C）

212?（C）??x(x?1)(2?x)dx??（A）?01x(x?1)(2?x)dx （B）?x(x?1)(2?x)dx??x(x?1)(2?x)dx

01201x(x?1)(2?x)dx （D）?x(x?1)(2?x)dx

022（A）、设f(x)?g(x)?m在区间[a,b]上连续，则曲线f(x),g(x)夹在[a,b]之间的平面图形绕直线y?m旋转而成的旋转体体积为（B）

???[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx C??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx D??[m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx 3（A）、如图，函数f(x)在区间[0,a]上有连续的导数，则定积分?xf'(x)dx等于（C）

Aabb?[2m?f(x)?g(x)][f(x)?g(x)]dx Bbabaaa0（A）曲边梯形ABOD面积 （B） 梯形ABOD面积 （C）曲边三角形ACD面积 （D）三角形ACD面积 4（A）、由曲线y?4x和直线y?x及y?4x在第一象限中所围图形的面积为4ln2． 5（A）、假设曲线L1:y?1?x2　　(0?x?1)，x轴和y轴所围成区域被曲线L2:y?ax2分为面积相等的两部分，a?0则a?3．

6（A）、过原点作y?lnx的切线，其与y?lnx及x轴所围区域为D，则D的面积为e2?1，

D绕x?e旋转一周所得的旋转体的体积为(5e2?12e?3)?6．

7（A）、已知曲线y?ax　　(a?0)与曲线y?lnx在点(x0,y0)处有公切线，求①常数

a及切点(x0,y0)；②两曲线与x轴所围平面区域的面积A；③该区域绕x轴旋转一周所得

旋转体体积Vx．[①a?1e,(e,1) ②A?e6?12 ③Vx??2]

8（A）、求曲线y?x?2x,y?0,x?1,x?3所围图形的面积A，并求该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积Vy．（A?2,Vy?9?）

222x2?1， x?2及x轴所围成的平面区域为D，则D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为4?3，D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积为2(33?1)?3．

9（A）、设y?10（A）、设有曲线y?x?1，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图

形绕x轴一周所得到的旋转体的表面积[S?(115?1)?6]

(0?x??),y?0围成的平面图形绕x轴旋转所得的曲面面积Sx，11（A）、求y?sinx　　并求其绕y轴旋转所得的旋转体体积Vy．（2?[2?ln(1?2)]，2?） 12（A）、 设位于曲线y?12x(1?ln2x)(e?x???)下方，x轴上方的无界区域为G,

2则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是?4．

13（A）、设L极坐标方程为r?cos3????6????6?，则L所围的区域面积为?12． 14（A）、设曲线的极坐标方程为??ea?　　(a?0)，则该曲线上相应于?从0边到2?的一段弧与极轴所围成的图形面积为(e4a??1)(4a)． 15（A）、f(x)?1x?3xdx与x轴、y轴围成图形的面积为1ln3．

1x2216（B）、设f(x)??edt，则其所示曲线与直线x?1及x轴，y轴围成的区域绕y轴

?t2旋转一周生成的旋转体体积V?2??10xf(x)dx?(1?e?1)?2．

17（A）、求摆线x?1?cost，y?t?sint一拱(0?t?2?)的弧长S?8．

?x?t1?udu??0L18（A）、设曲线由?确定，则该曲线对应于0?t?1的弧长为2．

t2?y??01?udu?19（B）、求心形线r?a(1?cos?)的全长，其中a?0 ． （S?8a）

20（A）、已知曲线的斜率为cosx，则该曲线在[0,?2]中的弧长为2．

2x的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x?0,x?2所围成图形面积最小．（l:y?(x?1)2）

222（A）、设曲线y?ax　　(a?0,x?0)与y?1?ax2交于点A，过坐标原点O和点A的

21（A）、求曲线y?直线与曲线y?ax围成一平面区域，问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？（a?4,Vmax?325?1875）

23（A）、设y?ax与抛物线y?x2所围面积为S1，它们与x?1所围面积为S2,　　(a?1) ①试确定a，使达到最小S1?S2，并求出最小值;a?122,Smin?(2?2)6

②求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx．[(2?1)?30]

??e2x,x?024（B）、设F(x)???2x，S表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积. 对任何t > 0，

?,x?0?eS1(t)表示矩形?t ? x ? t，0 ? y ? F(t)的面积. 求

(I) S(t) = S ?S1(t)的表达式；S(t)?1?2te?2t，t ? (0 , +?). (II) S(t)的最小值．[S()?1?11是最小值]

2e25（B）、设D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}及l:x?y?t(t?0) ，若S(t)表示D位于直

?x360?x?1x?321?x?2 ． 线l左下方部分的面积，则?S(t)dt(x?0)???x6?x?x?130?x?1x?2?x?x26（B）、曲线y?(e?e)2与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x?t处的底面积为F(t), ①求S(t)V(t) ； ②计算lim[S(t)F(t)]．（① 2 ② 1）

t???27（B）、已知曲线L的方程x?t?1，y?4t?t(t?0)

（I）讨论L的凹凸性；（凸的）（II）过点(?1,0)引L的切线，求切线的方程；（y?x?1） （III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．（73）

22（二）二重积分计算

1（A）、设f(x,y)连续，则2（A）、设f连续，则

??2?2dx?1sinxf(x,y)dy可换序为?dy?01???arcsinyf(x,y)dx.

2x11x?112dy?1yf(x,y)dx??dy?f(x,y)dx可换序为?dx?f(x,y)dy.

1y223（B）、设D 由x2?y2?a2,x2?y2?ax,y??x所围，如图所示，将化为极坐标系下的二次积分.

y??xy??f(x,y)d?（a>0）

Dx2?y2?a2a2a22(x?)?y?24?a0?a2axI???20d??aacos?f(rcos?,rsin?)rdr???3?42d??f(rcos?,rsin?)rdr.

0a4（A）、设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x?y?2y, 则（A）（C）

?22???f(xy)dxdy等于（D）

D??1dx??1?x11?x22f(xy)dy （B）2?dy?022y?y20f(xy)dx.

?0??2?d??2sin?0f(r2sin?cos?)dr （D）?d??0?2sin?0f(r2sin?cos?)rdr

5（A）、设函数f(t)连续，则二次积分（A）（C）

?2?20d??22cos?f(r2)rdr=（B）

24?x22x?x24?x2202dx?dx?4?x22x?x24?x22x?yf(x?y)dy （B）?dx?0222f(x2?y2)dy f(x2?y2)dy

201?2x?xx?yf(x?y)dy（D）?dx?0D222221?2x?x6（A）、设I1?中D?222222cosx?yd?,I?cosx?yd?,I?cosx?y????d?，其23??????D??x,y?xD2?y2?1，则按从大到小的排列次序为I3?I2?I1.

?D7（A）、设D是xoy面上以(1,1),(?1,1),(?1,?1)为顶点的?区域，D1是D在第一象限的部分，则

??(xy?siny?cosx)d??（A）

??siny?cosxd? （B）2??xyd? （C）4??(xy?siny?cosx)d? （D）0

D1D1D11?k?4（A）28（A）、如图，正方形D:|x|?1,|y|?1被其对角线划分为四个区域Dk(k?1,2,3,4)， 设Ik?2ytanxdxdy，则max{Ik}? (A) ??Dk(A)I1 (B)I2

(C)I3 (D)I4