专题复习（六） 图形操作问题

专题复习（六） 图形操作问题

图形操作问题是当今中考命题的热点，是数形结合思想的拓展与升华，这类中考题，立足基础，突出创新与数学思想方法的考察.它有助于学生发展空间观念和创新能力的培养.解决这类题目，要求大家积极参与操作、实验、观察、猜想、探索、发现结论全过程，有效地提高解答操作题的能力.

题型之一 折叠与翻折问题

错误！未找到引用源。 （2015·孝感）如图.四边形ABCD是矩形纸片.AB＝2.对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN、MN，延长MN与BC与点G.有如下结论：①∠ABN＝60°；②AM＝1；③QN＝

3

；④△BMG是等边三角形；⑤P为线段BM上一动点；3

H是BN的中点，则PN＋PH的最小值是3.其中正确结论的序号是 .

【解析】 ①首先根据EF垂直平分AB，可得AN＝BN；然后根据折叠的性质，可得AB＝BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN＝60°.故①正确；

②首先根据∠ABN＝60°，∠ABM＝∠NBM，求出∠ABM＝∠NBM＝30°；然后在Rt△ABM中，根据AB＝2，AM＝AB·tan30°＝2×

323＝.故②不正确； 33

1

③首先根据EF∥BC，QN是△MBG的中位线，可得QN＝BG；然后根据BG＝BM＝AB÷cos∠ABM

234314323＝，∴QN＝×＝，结论③不正确； 23233

④根据∠ABM＝∠MBN＝30°，∠BNM＝∠BAM＝90°，推得∠MBG＝∠BMG＝∠BGM＝60°，即可推得△BMG是等边三角形.即结论④正确；

⑤首先根据△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，判断出BN⊥MG，即可求出BN的大小；＝2÷然后根据P与Q重合时，PN＋PH＝PN＋PE＝EN，据此求出PN＋PH的最小值是3.即结论⑤正确.

故答案为①④⑤.

错误！未找到引用源。

图形的折叠与翻折都属于全等变换，即操作前后的两个图形是全等的，这就为解决问题提供了很多边、角相等的条件.另外折叠和翻折还是轴对称变换，解决问题时还可以运用轴对称的性质

1.（2015·汕尾）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB

＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（ ）

4525

A.25 B.5 C. D. 55

第1题图 第2题图

2.（2015·无锡）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，

使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（ ）

3423A. B. C. D. 5532

3.（2015·呼和浩特）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ）

19

A. B. C.2 D.4 28

4.（2015·自贡）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（ ）

错误！未找到引用源。

A.210－2 B.6 C.213－2 D.4

5.（2015·泸州）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（ ）

1527

A.13 B. C. D.12

22

第5题图 第6题图

6.（2015·河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等

腰三角形，则DB′的长为 .

7.（2015·南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处.

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）

3

（2）如果AM＝1，sin∠DMF＝，求AB的长.

5

8.（2015·东营）如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：

（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；

（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；

（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值.

题型之二 分割与剪拼问题

错误！未找到引用源。 （2013·淄博）矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4.

（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；

（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）.

【思路点拨】 （1）要在矩形纸片中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽；

（2）先根据剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等求出正方形的边长为25，从而借助勾股定理在网格中确定4和2作为直角边构造直角三角形，将原长方形剪成4个直角边为4和2的直角三角形和4个边长为1的小正方形，然后把直角三角形的斜边作为新正方形的边长，通过旋转等图形变换拼出新正方形.

【解答】 （1）能.要在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形面积最大，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.

（2）由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知，剪拼成的面积最大的正方形的边长是4×5＝25.所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方形部分剪成4个斜边为25的直角三角形，将1×4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：