谈三角形内角和定理的证明思路

谈三角形内角和定理的证明思路

山东省泰山现代中学 司家祥

三角形内角和定理是几何中重要的定理之一，是几何组成的基石。关于它的证明方法有很多，今天我们来研究其中几种证明方法思路产生的过程。 已知:△ABC.

求证:∠A+∠B+∠C=180°.

思考方法1：当我们看到1800时,联想到我们熟悉的1平角=1800，所以我们猜想能否把三角形的三个内角移到一起构造出一个平角呢?这就为我们的证明提供了思路和方法.

方法一：如图1，延长BC得到一平角∠BCD，过C作CE∥AB 证明：延长BC得到一平角∠BCD，过C作CE∥AB

∵ CE∥AB

∴∠A＝∠ACE( 两直线平行内错角相等 ) ∠B=∠DCE ( 两直线平行同位角相等 ) ∵∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°

∴∠A +∠B+∠ACE=180° ( 等量代换 )

图1

思路分析:根据平行线的性质，利用同位角把三角形三内角转化为一个平角。

A

方法二：如图2，过A作DE∥AB

D E 证明:略.

B C 图2

思路分析:根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。

方法三：如图3，在BC边上任取一点D，作ED∥AB，FD∥AC。 证明:略.

图3

探究:证明三角形内角和定理时我们可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点D.（如图3），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图b）“凑”到三角形外一点呢？（如图c）.

思路分析:根据平行线的性质，利用内错角、同位角或同旁内角把三角形三内角转化为一个平角。

思考方法二：我们知道两直线平行同旁内角互补。于是我们猜想能否把三角形的三个内角转化成两平行直线中位置为同旁内角两个角呢?于是我们可以这样做:

A

如图4，过C作CD∥AB D

B C

如图4

思路分析:根据平行线的性质，利用内错角把三角形三内角转化为两平行线间的同旁内角. 两直线平行同旁内角互补而问题得证。

以上这几种思路其实体现了数学化归思想，即化繁为简，化难为易，化未知为已知。此思路就是化未知为已知。我们在解决问题时展开丰富的联想,思考与我们要证明的问题类似的问题,可以借用它的结论或证明思路,不断地猜想,验证,直到问题的解决.