2020版高考数学大一轮复习专题突破-高考中的圆锥曲线问题-范围、最值问题教案(文)(含解析)新人教A版

即点M的轨迹E的方程为＋y＝1.

4(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，

故可设l：x＝ty＋m，t∈R，A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵l与圆O：x＋y＝1相切， ∴

|m|

＝1，即m＝t＋1，① 2t＋1

2

2

2

2

2

2

x2

2

??x＋4y＝4，由?

?x＝ty＋m?

2

2

2

消去x，并整理得(t＋4)y＋2mty＋m－4＝0， 其中Δ＝4mt－4(t＋4)(m－4)＝48>0， 2mtm－4∴y1＋y2＝－2，y1y2＝2.②

t＋4t＋4∴|AB|＝?x1－x2?＋?y1－y2? ＝t＋1?y1＋y2?－4y1y2， 将①②代入上式得 |AB|＝t＋12

2

22

22

22

2

2

4mt4?m－4?43|m|

＝2，|m|≥1， 22－?t＋4?t2＋4m＋3

222

1143|m|

∴S△AOB＝|AB|·1＝·2

22m＋3＝

23≤＝1， 323|m|＋

|m|23

3

当且仅当|m|＝，即m＝±3时，等号成立，

|m|∴△AOB面积的最大值为1.

思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

12

跟踪训练2(2018·锦州模拟)已知椭圆＋y＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对

22称.

x2

5

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 解 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为

??x2

2

2＋y＝1，y＝－1

mx＋b.由???y＝－1

mx＋b，

消去y，得??11?2＋m2??22b2

?

x－mx＋b－1＝0.

2

因为直线y＝－1mx＋b与椭圆x2＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2

＋2＋4m2>0，①

22

将AB的中点M??2mbmb?m2＋2，m2＋2??1m＋2?

代入直线方程y＝mx＋2，解得b＝－2m2，②

由①②得m<－63或m>6

3

. (2)令t＝1?6??6?

m∈??－2，0??∪??

0，2??，

则t2

∈???0，32???

.

－2t4＋2t2

＋

3则|AB|＝t2

＋1·

2，

t2

＋

12

t2＋

1且O到直线AB的距离为d＝

2

t2＋1

.

6

设△AOB的面积为S(t)， 11

所以S(t)＝|AB|·d＝22

2?21?2

－2?t－?＋2≤，

2?2?

12

当且仅当t＝时，等号成立，

2

?3?2

此时满足t∈?0，?.

?2?

故△AOB面积的最大值为

2. 2

→→2

1.已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1·PF2<0，则

4

x2

x0的取值范围是( )

?2626?A.?－，?

3??3

?2323?

B.?－，?

3??3

7

C.?－??33?，? 33?

D.?－

?

?66?，? 33?

答案 A

解析 由题意可知，F1(－3，0)，F2(3，0)， →→222

则PF1·PF2＝(x0＋3)(x0－3)＋y0＝x0＋y0－3<0， 点P在椭圆上，则y＝1－，

4

2626?x0?故x＋?1－?－3<0，解得－

2

0

2

20

x20

?2626?

即x0的取值范围是?－，?.

3??3

2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到

2

y轴距离的最小值为( )

7

A.1B.C.2D.5 4答案 B

1?1?2

解析 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y＝x的焦点为F?，0?，抛物线的准线为x＝－，4?4?

所求的距离d＝?

?x1＋x2?＝

??2?

x1＋＋x2＋

2

14

1

41|MF|＋|NF|1|MF|＋|NF|1|MN|1－＝－，所以－≥－4242424

7

＝(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号). 4

π2

3.过抛物线y＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A4在x轴上方，则|FA|的取值范围是( )

?1?A.?，1? ?4??1?C.?，＋∞? ?2?

答案 D

?1?B.?，＋∞?

?4?

2??1

D.?，1＋?

2??4

1

解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋ 4

?1?11

＝?＋|AF|cosθ?＋＝＋|AF|cosθ， ?4?42

11|AF|(1－cosθ)＝，|AF|＝. 22?1－cosθ?

8