高中数学教案 4.1.2圆的一般方程教案 新人教A版必修2

课题： 2.4.1.2圆的一般方程

课 型：新授课

教学目标： 1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般 方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x＋ y＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待 定系数法求圆的方程。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的 互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教学过程：

一、课题引入：

问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。

二、探索研究：

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王新敞请同学们写出圆的标准方程：

(x－a)＋(y－b)=r，圆心(a，b)，半径r．

把圆的标准方程展开，并整理：

x＋y－2ax－2by＋a＋b－r=0．

取D??2a,E??2b,F?a?b?r得

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x2?y2?Dx?Ey?F?0 ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x＋y＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x＋y＋Dx＋Ey＋F=0配方得

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D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)? ②

224这个方程是不是表示圆？

(1)当D＋E－4F＞0时，方程② 表示以（-2

2

ED1D2?E2?4F为半径的圆； ，-）为圆心,

222（2）当D2?E2?4F?0时，方程只有实数解x??DEED，y??，即只表示一个点（-，-）;

2222（3）当D2?E2?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 王新敞综上所述，方程x?y?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆 只有当D2?E2?4F?0时，

22王新敞它表示的曲线才是圆，我们把形如x?y?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F?0）的方程称为圆的一般方程。如?x?1??y2?4

我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x和y的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定

了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征比较明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

(三)、知识应用与解题研究：

例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

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222?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0

22?2?4x?4y?4x?12y?11?0学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于?1?4x?4y?4x?12y?9?0来说，这里的

229D??1,E?3,F?而不是D=-4,E=12,F=9.

4解：

例2．（课本例4）求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和

圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x?y?Dx?Ey?F?0

22，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，∵A(0,0),B(11可以得到关于D,E,F的三元一次方程组.

?F?0?即?D?E?F?2?0 ?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0 王新敞∴所求圆的方程为：x?y?8x?6y?0

22王新敞r?1DFD2?E2?4F?5；??4,???3 222王新敞得圆心坐标为（4，-3）.

或将x?y?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，(x?4)?(y?3)?25,从而求出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： ①、根据提设，选择标准方程或一般方程；

②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

2222王新敞例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上?x?1??y2?4 运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满

足方程?x?1??y2?4。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。

解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是?x0,y0?.由于点B的坐标是?4，3?

22且M是线段AB的重点，所以x?2x0?4y?3,y?0, 于是有x0?2x?4,y0?2y?3 ① 222因为点A在圆?x?1??y2?4上运动，所以点A的坐标满足方程?x?1??y2?4,即

?x0?1?2?y02?4②

把①代入②，得

3??3?x-?y??2x?4?1???2y?3??4,整理，得??????1 22????2222?33?所以，点M的轨迹是以?，?为圆心，半径长为1的圆

?22?y64A2-5MB5O-2-4x 课堂练习： p123第1、2、3题 课堂小结 ：

1．对方程x?y?Dx?Ey?F?0的讨论(什么时候可以表示圆) 22王新敞2．与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹。

王新敞王新敞课后作业：课本p124习题4.1A组第6题,B组第1,2题 课后记: