导数在研究函数中的应用资料

导数在研究函数中的应用

编稿；周尚达 审稿：张扬 责编：严春梅 目标认知 学习目标：

1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间

（多项式函数一般不超过三次）. 2．了解函数在某点（

）；会用

取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件

导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.

3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.

重点：

利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。

难点：

函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.

学习策略：

①理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。 ②数形结合，体会函数极值与最值的含义。

③紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。

知识要点梳理

知识点一：函数的单调性

(一) 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数 ①若 ②若 ③若恒有 反之，若若

，则，则

，则

在某个区间内有导数，则在这个区间上， 在这个区间上为增函数； 在这个区间上为减函数；

在这一区间上为常函数.

恒成立（但不恒等于0）；

恒成立（但不恒等于0）．

在某区间上单调递增，则在该区间上有

在某区间上单调递减，则在该区间上有

注意：

1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上正时，函数

，即切线斜率为

在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数

在这个区

间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。 2．若在某区间上有有限个点使函数（减函数的

情形完全类似）。即在某区间上，

在这个区间上为减函数，但反之不成立。

；

在该区间

。在区间(a,b)内，

（或

在某区间上为增函数

在该区间

在这个区间上为增函数；

，在其余点恒有

，则

仍为增

在某区间上为减函数

）是

在

区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！ 例如：递增.

3．只有在某区间内恒有

，这个函数

在这个区间上才为常数函数.

而f(x)在R上

4．注意导函数图象与原函数图象间关系.

（二）利用导数求函数单调性的基本步骤： 1. 确定函数 2. 求导数

的定义域； ；

，解出相应的x的范围；当

时，

3. 在定义域内解不等式

在相应区

间上为增函数；当 或者令点（即

的无

时

在相应区间上为减函数.

，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断

定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义

区间分成若干个小

区间，判断在各个小区间内 4. 写出

的单调区间.

的符号。

注意：

1．求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。

2．求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。

知识点二：函数的极值

（一）函数的极值的定义 一般地，设函数 （1）若对于 记作 （2）若对 记作

在点

及其附近有定义，

，则

是函数

的一个极大值，

附近的所有点，都有

；

附近的所有点，都有

.

，则是函数的一个极小值，

极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 注意：由函数的极值定义可知：

（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.

（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可

能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大

或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整

个定义区间上的最小值.

（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值

的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.

（二）求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数 ③求方程

；

的根；

④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；

如果左负右

正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 注意：

①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即

是可导函数

在点

取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，

，但

x=0不是函数的极 值点. ②可导函数相异。

在点

取得极值的充要条件是

且在

两侧，

的符号

知识点三：函数的最值

（一） 函数的最大值与最小值定理 若函数

在闭区间

上连续，则

在

上必有最大值和最小值；在开

区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.

注意：

①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。

（二）求函数最值的的基本步骤： 若函数在

在闭区间

有定义，在开区间

内有导数，则求函数

上的最大值和最小值的步骤如下：

在

在

内使

内的导数

内的根； 的所有点的函数值和

在闭区间端点处的函数值

，

；

（1）求函数 （2）求方程 （3）求在

；

（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数小者为函数

在闭区间

上的最小值.

在闭区间上的最大值，最