数学建模作业

模型一

SIR模型

问题背景：随着卫生设施的改善，医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱，天花灯曾经肆略全球的传染性基本已经得到有效的控制，但是一些新的，不断便宜的传染病毒却悄悄向人类袭来。长期以来，建立传染病的模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化，探索制止传染病蔓延的手段等一直是各国有关专家的课题。 建模目的：建立传染病的模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化，探索制止传染病蔓延的手段等。 模型假设：

（1）t时刻健康者，病人和病愈免疫的移出者在总人数N中所占的比例分别记为s(t),i(t),r(t).切s(t)?i(t)?r(t)?1

（2）病人的日接触率为λ，日治愈率为μ，传染期接触数δ=λ/μ. 模型建立：

?di/dt??si??i,i(0)?i0ds/dt???si,s(0)?s0

模型二

甲型H1N1流感早期传播的数学模型

问题背景：2009年初一场突如其来的甲型H1N1流感从墨西哥开始迅速波及全球，拥有十三亿人口的中国也未能躲过这场灾难，但是经历了非典侵袭的中国吸取以前的经验和教训，迅速采取各种措施，立即在全国打响了一场流感阻击战。 建模目的：根据甲型H1N1流感早期在我国的传播规律，给出了一种描述甲型H1N1流感早期在我国传播的数学模型，分析了模型的解及其性质，证明了在严格的防控措施下，发病者最终将会完全消失，但是出于潜伏期者最终将会达到一个固定的比例，之处了甲型H1N1流感的防控工作是一想长期儿艰巨的任务； 模型建立：

S(t),I(t),E(t)分别表示易感人群，病人与潜伏期者在人群中的比例，且总和为1； β表示病人的日治愈率，ε表示潜伏期者的日发病率；

?dS(t)/dt???1?S(t)?E(t)?,dI(t)/dt??E(t)??I(t)dE(t)/dt???E(t)?P(t)l(t)

参考文献：

晋守博，肖志涛，甲型H1N1流感早期传播的数学模型，数学的实践与认识，第42卷第9期，2012年5月；

模型三

甲型H1N1流感早期传播的数学模型

问题背景：2009年初一场突如其来的甲型H1N1流感从墨西哥开始迅速波及全球，拥有十三亿人口的中国也未能躲过这场灾难，但是经历了非典侵袭的中国吸取以前的经验和教训，迅速采取各种措施，立即在全国打响了一场流感阻击战。

建模目的：根据甲型H1N1流感早期在我国的传播规律，给出了一种描述甲型H1N1流感早期在我国传播的数学模型，分析了模型的解及其性质，证明了在严格的防控措施下，发病者最终将会完全消失，但是出于潜伏期者最终将会达到一个固定的比例，之处了甲型H1N1流感的防控工作是一想长期儿艰巨的任务； 模型建立：

S(t),I(t),E(t)分别表示易感人群，病人与潜伏期者在人群中的比例，且总和为1； β表示病人的日治愈率，ε表示潜伏期者的日发病率；

?dS(t)/dt???1?S(t)?E(t)?,dI(t)/dt??E(t)??I(t)dE(t)/dt???E(t)?P(t)l(t)

参考文献：

晋守博，肖志涛，甲型H1N1流感早期传播的数学模型，数学的实践与认识，第42卷第9期，2012年5月；

模型四

肿瘤模型

模型假设:

假设肿瘤细胞的增长率与当时该细胞数目成正比,比例系数为k即增长率； 设细胞增长一倍所需时间为T； X(t)表示t时刻肿瘤细胞的数目； 模型建立： 由现象（2）得

dx(t)/dt?kx

由现象（1）知

x(0)?10^11

由现象3知由于各种生理条件的影响，在肿瘤生长的后期肿瘤细胞的数目会趋于稳定值，故假设最大值为N；

增长率k变为k(x)，是一个减函数；并假设k(x)为线性函数；

k(x)?k?sx

k表示固有增长率；

当x=N时k(N)=0，得到s?k/N;

于是得到的模型为：dx(t)/dt?k(x)x?x(k?kx/N) 化简为dx(t)/dt?kx(1?x/N); 这是logistic模型； 模型求解：

利用变量分析法解得x(t)?N/(1?(N/x0?1)*e^?kt);

参数估计： 由现象（2）知

x(t?T)?2x(t)

将（1）式代入上式得 k?ln2/T 模型分析：

当t=0时满足现象1；

当t趋于无穷时，x趋于N；满足现象3；

也可以验证满足x(t+T)=2x(t),其中T=ln2/k,即满足现象2； 下面开始解答习题：

（3）Gompertz模型的适合后期的增长，比loqistic模型适合前期 （4）当a=1时为logistic模型；当a趋于0时为Gompertz 模型；