高考数学一轮复习课时跟踪检测十五导数的概念及运算含解析

课时跟踪检测（十五） 导数的概念及运算

[A级 保分题——准做快做达标]

1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0

B．(1－e)x－y－1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0

1

解析：选C 由于y′＝e－，所以y′|x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处

x的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.

2．已知函数f(x)＝aln x＋bx的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为( )

A．－1 C．3

B．1 D．－3

2

解析：选D 由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上， 所以f(1)＝1，即aln 1＋b×1＝1，解得b＝1， 所以f(x)＝aln x＋x， 故f′(x)＝＋2x.

则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2， 因为切线与直线x－y＋1＝0垂直， 所以a＋2＝－1，即a＝－3.

3．(2019·珠海期末)曲线y＝x－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A．30° C．60°

B．45° D．120°

3

3

2

3

2

2

ax解析：选B 由题意知点(1,3)在曲线y＝x－2x＋4上．∵y＝x－2x＋4，∴y′＝3x3

－2，根据导数的几何意义，可知曲线y＝x－2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴曲线y＝x－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.

4．(2019·青岛模拟)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 018(x)＝( )

A．－sin x－cos x C．－sin x＋cos x

B．sin x－cos x D．sin x＋cos x

*

3

解析：选C ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 018＝4×504＋2，∴f2 018(x)＝f2(x)＝－sin x＋cos x，故选C.

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5．(2019·山东省实验中学一模)设函数f(x)＝x＋ax，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )

A．(0,0) C．(－1,1)

B．(1，－1)

D．(1，－1)或(－1,1)

2

32

3x0＋2ax0＝－1，??2

解析：选D f′(x)＝3x＋2ax，依题意，得?x0＋fx0＝0，

2??fx0＝x30＋ax0，

解得

a＝－2，??

?x0＝1，??fx0＝－1

2

a＝2，??

或?x0＝－1，??fx0＝1，

故选D.

6．(2019·湖北黄石二中一模)若直线y＝kx＋2是函数f(x)＝x－x－3x－1图象的一条切线，则k＝( )

A．1 C．2

B．－1 D．－2

2

32

解析：选C 直线y＝kx＋2过(0,2)，f′(x)＝3x－2x－3，设切点为(x0，y0)，故切线方程为y－y0＝(3x0－2x0－3)(x－x0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0＝x0－x0－3x0－1，解得x0＝－1，y0＝0，代入y＝kx＋2，解得k＝2.

7．(2019·银川一中月考)设函数f(x)＝则导数f′(－1)的取值范围是( )

A．[3,4＋3] C．[4－3，6]

2

3

2

3sin θ3cos θ2?5π?x＋x＋4x－1，θ∈?0，?，

6?32?

B．[3,6]

D．[4－3，4＋3]

解析：选B 求导得f′(x)＝3xsin θ＋xcos θ＋4，将x＝－1代入导函数，得f′(－π???5π?可得θ－π∈?－π，2π?，

1)＝3sin θ－cos θ＋4＝2sin?θ－?＋4，由θ∈?0，?，?6?6?3?6?6???π??1?π???∴sin?θ－?∈?－，1?，∴2sin?θ－?＋4∈[3,6]．故选B.

6??2?6???

8．(2019·巴蜀中学模拟)已知曲线y＝为25，则直线l的方程为( )

A．2x＋y＋2＝0

B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0 C．2x－y－18＝0

D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0

2x在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离x－1

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解析：选B y′＝

2

x－1－2x2

＝－

x－12x－1

2，y′|x＝2＝－

2

2－1

2

＝－2，因此

kl＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，由题意得

|2×2＋4－b|

＝25，5

解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y＋2＝0.故选B.

9．(2019·成都双流区模拟)过曲线y＝x－2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的

2

?3?横坐标的取值范围是?1，?，则切线的倾斜角的取值范围是( ) ?2?

?π?A.?0，?

2??

C．[0，π)

?π?B.?0，?

4??

D.?

?3π，π?

?

?4?

3

解析：选B 因为y′＝2x－2,1≤x≤，所以0≤2x－2≤1.设切线的倾斜角为α，则

2π

0≤tan α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤，故选B.

4

10．(2019·广东七校联考)函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是( )

解析：选A 法一：由题意，得f′(x)＝cos x＋x(－sin x)＝cos x－xsin x，f′(－

x)＝f′(x)，所以f′(x)为偶函数．又f′(0)＝1，所以排除C、D；令g(x)＝f′(x)＝cos x－xsin x，则g′(x)＝－xcos x－2sin x，易知g′(0)＝0，且当x∈?0，?时，g′(x)<0，

2

??

π?

?

??f′(x)单调递减，当x∈?－，0?时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，所以f′(x)在x＝0处

?

取得极大值，排除选项B.故选A.

法二：由题意，得f′(x)＝cos x＋x(－sin x)＝cos x－xsin x，又f′(0)＝1，所以

π?2

?π?排除C，D；当x∈?0，?时，y＝cos x单调递减，对于y＝xsin x，y′＝xcos x＋sin x>0，

2???π?则y＝xsin x单调递增，则f′(x)＝cos x－xsin x在?0，?上单调递减．故选A.

2??

11．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln x在点(1,0)处的切线方程为______________．

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2

解析：因为y′＝，y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2.

x答案：y＝2x－2

12．若点P是曲线y＝x－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________． 12

解析：由y＝x－ln x，得y′＝2x－(x＞0)，

2

x设点P0(x0，y0)是曲线y＝x－ln x上到直线y＝x－2的距离最小的点， 11

则y′x＝x0＝2x0－＝1，解得x0＝1或x0＝－(舍去)．

x02∴点P0的坐标为(1,1)．

|1－1－2|

∴所求的最小距离为＝2.

2答案：2

1

13．(2019·石家庄二中月考)已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)

2

x都相切，则直线l的斜率为________．

1?11?解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－2，设曲线f(x)与l切于点?x1，?，则切线斜

xx?x1?

11112122

率k＝－2，故切线方程为y－＝－2(x－x1)，即y＝－2x＋.与g(x)＝x联立，得x＋2

x1x1x1x1x1x1

x－＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所以?2?2－4?－?＝0，解得x1＝－，故斜率k＝x12?x1??x1?

1

－2＝－4.

2

?1??2?

1

x1

答案：－4

14．(2019·淄博六中期末)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．

解析：设曲线上过点P(x0，y0)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则y′|x＝x0＝离为5.

答案：5

15．(2019·孝感高中期中)已知函数f(x)＝x－x. (1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；

(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．

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3

2

＝2，解得x0＝1，所以y0＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距2x0－1|2－0＋3|2＋－1

2

2

＝5，所以曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是