2013高中数学高考题详细分类考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

考点44 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

一、选择题

y1.（2013·四川高考理科·Ｔ6）抛物线y?4x的焦点到双曲线x??1的渐

3222近线的距离是（ ） （A） （B）

123 （C）1 （D）3 2【解题指南】本题考查的是抛物线与双曲线的基本几何性质，在求解时首先求得抛物线的焦点坐标，然后求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式进行求解即可.

y【解析】选B，由抛物线y?4x的焦点(1,0)，双曲线x??1的一条渐近线方

3222程为3x?y?0，根据点到直线的距离公式可得d?3，故选B. 22.（2013·山东高考文科·Ｔ11）与（2013·山东高考理科·Ｔ11）相同

x212

抛物线C1：y=x(p＞0)的焦点与双曲线C2：?y2?1的右焦点的连线交

32pC1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ） A.234333 B. C. D.

33168【解题指南】 本题考查了圆锥曲线的位置关系,可先将抛物线化成标准方程,然后再利用过交点的切线平行于C2的一条渐近线,求得切线斜率,进而求得p的值.

【解析】选D. 经过第一象限的双曲线的渐近线为y?3x.抛物线的焦点为3px021F(0,),双曲线的右焦点为F2(2,0).y'?x，所以在M(x0,)处的切线斜率为

2p2p

p333p13，即x0?，所以x0?p，即三点F(0,)，F2(2,0)，M(p,)共线，

23336p3ppp??062，即p?43. 2所以?30?23p3二、填空题

3. （2013·江西高考理科·Ｔ14）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其

x2y2准线与双曲线??1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则

33p=___________.

【解题指南】A、B、F三点坐标都能与p建立起联系，分析可知△ABF的高为P，可构造p的方程解决.

【解析】由题意知△ABF的高为P，将y??代入双曲线方程得A，B两点的

p2横坐标为x??3?，因为△ABF为等边三角形，所以

4pp23?4?tan600，从而

p2解得p2?36，即p?6. 【答案】6.

4.（2013·安徽高考理科·Ｔ13）已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为___________ 【解题指南】 点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为r=a的圆，数形结合可得。

【解析】联立直线y=a与抛物线y=x2得x= a,，满足题设条件的点C的轨

2迹是以为圆心，r=a为半径的圆，其方程为x2+（y?a）?a2。由数形结（0，a）合可知当r=a≤a时满足题设要求，解得a≥1。

【答案】[1,+≦). 三、解答题

x25.（2013·北京高考理科·Ｔ19）已知A、B、C是椭圆W：?y2?1上的三

4个点，O是坐标原点.

(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积. (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

【解题指南】（1）利用OB的垂直平分线求出AC的长，再求面积； （2）若是菱形，则OA=OC，A点与C点的横坐标相等或互为相反数。 【解析】（1）线段OB的垂直平分线为x?1，所以A(1,?所以A(1,33),C(1,)或2233),C(1,)，所以|AC|?3，所以菱形面积为错误！未找到引用源。22|OB|·|AC|=错误！未找到引用源。×2×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.

（2）四边形OABC不可能是菱形，只需要证明若OA=OC，则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.

x2设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆x?y?r与椭圆W:?y2?1的交点.

42223x2232?r2?1，x??r?1,所以A点与C点的横坐标互为相反数或相等，

34此时B点为顶点.因此四边形OABC不可能是菱形.

6.（2013·江西高考文科·Ｔ20）椭圆C:错误！未找到引用源。(a>b>0)的离心率e?

3错误！未找到引用源。，a+b=3. 2

(1)求椭圆C的方程；

(2)如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明:2m-k为定值.

【解题指南】（1）借助椭圆中a2?b2?c2的关系及两个已知条件即可求解；（2）可以写出BP的直线方程，分别联立椭圆方程及AD的方程表示出点P、M的坐标，再利用DP与x轴表示点N的坐标，最终把m表示成k的形式，就可求出定值；另外也可设点P的坐标，把k与m都用点P的坐标来表示. 【解析】(1) 因为e?3c?2a，所以a?23c，又由a2?b2?c2得b?13c，代入

a+b=3，得c?3,a?2,b?1.故椭圆C的方程为

x2?y2?1. 4(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为

1y?k(x?2)(k?0,k??)①，

2x28k2?24k2将①代入?y?1，解得P(2,?2).

44k?14k?1直线AD的方程为：y?1x?1. ②

2联立①②解得M(4k?2,4k).

2k?12k?1由D（0,1），P(8k?24k,?2)，N（x,0）三点共线可知24k?14k?12?4k?120?14k?1?，即8k2?2x?0?04k2?1x?4k?2，所以点N(4k?2,0). 2k?12k?1