2018-2019学年河南省洛阳市下学期尖子生第二次联考高三数学（理）试题

洛阳市2018－2019学年高三下学期尖子生第二次联考

数学试题（理）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x∈R｜log2（2－x）＜2}，B＝{－1，0，1，2，3}，则A∩B子集的个数

为

A．8 B．7 C．4 D．16 2．若复数z＝（2＋ai）（a－i）在复平面内对应的点在第二象限，其中a∈R，i为虚数单位，

则实数a取值范围为 A．（－2，2） B．（－∞，－2） C．（2，＋∞） D．（－2，0）

3．下列说法正确的是

A．命题“?x0∈[0，1]，使x02－1≥0”的否定为“?x∈[0，1]，都有x2－1≤0” B．命题“若向量a与b的夹角为锐角，则a·b＞0”及它的逆命题均为真命题 C．命题“在锐角△ABC中，sinA＜cosB”为真命题

D．命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为”若x≠0且x≠－1，则 x2＋x≠0

4．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状

图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980－1989年之间出生，80前指1979年及以

1

前出生．

A．互联网行业从业人员中90后占一半以上

B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％ C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多

5．已知等差数列{an}的前n项和Sn，若a2＋a3＋a10＝－3a6，则S10＝ A．1 B．－1 C．0 D．2 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

32 316 B．16?－

332 C．8?－

316 D．8?－

3A．16?－7．如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形ABC的三个顶点

为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形．在此图形内随机取一点，则此点取自等边 三角形内的概率是

A．33 B．

2?－32?－2333 D．

?－34?－23 C．8．函数f（x）＝sinωx＋3cosωx（ω＞0）与函数y＝g（x）的图象关于点（

称，且g（x）＝f（x－

?，0）对 3?），则ω的最小值等于 3 A．1 B．2 C．3 D．4 9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－1）＝－f（x＋1），当x∈[0，1]时，f（x）＝

21ln51－．

2－1，设a＝ln，b＝（），c＝（）01，则

e?3x

1A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（b）＜f（c）＜f（a）

C．f（b）＜f（a）＜f（c） D．f（c）＜f（b）＜f（a）

10．四个同样大小的球O1，O2，O3，O4两两相切，点M是球O1上的动点，则直线O2M与

直线O3O4所成角的余弦值的取值范围

2

A．[3321，1] B．[0，] C．[，1] D．[0，] 3222x2y211．已知双曲线2－2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于

abx轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若

△PQF2的周长为12，则ab取最大值时，该双曲线的离心率为 A．3 B．2 C．2333 D． 3212．已知函数f（x）＝x＋xlnx，且对于任意x＞2，总有函数f（x）的图象在函数

y＝k（x－2）图象的上方，则当k∈N时，k的最大值为

A．3 B．4 C．2 D．5

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13．若

15＋ax2＋1）的展开式中的常数项为5，则a＝_________． x?x＋y－2≤0?14．已知实数x，y满足关系?x－y＋4≥0，则｜x－2y｜＋2的最大值是_________．

?y≥0?15．已知圆C：x2＋y2＋2x＋m＝0与y轴和抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线都相切，则过

抛物线E的焦点F且与圆C相切的直线l被抛物线所截弦长等于_________．

（－）1an－2－（－）1an－3（n∈N，n≥4）16．设数列{an}满足an＝an－1＋，a1＝1，a2＝

3，a3＝9，则a2019＝_________．

三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤． 17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c＝3b，角A的平分线交BC于点D． （1）若A＝

nn??，求tanB； 3（2）若AD＝mAC（m＞0），求m的取值范围．

3

18．（本小题满分12分）

在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，AB＝3，AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1：2，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连接A1B，A1P，A1C．如图． （1）求证：A1F⊥PF；

（2）求二面角B－A1P－F的余弦值的大小． 19．（本小题满分12分）

x2y21，O为坐标原点，F为椭圆C的左焦点，直线l与椭圆相交于 已知椭圆C：＋＝42A，B两点．

（1）求证：以｜FA｜为直径的圆与圆x2＋y2＝4相切；

uuruuur（2）若M是椭圆上一点，且O为△MAB的重心，求OA·OB的取值范围．

20．（本小题满分12分）

某快递公司收取快递费用的标准是：首重（小于等于1kg）10元／kg，续重5元／kg（不 足1kg的按1kg计算）．

该公司对近60天中每天揽件数量统计如下表：

（1）现有A，B，C三件礼物，重量分别0．3kg，1．8kg，1．5kg．某人打算将这三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费用不超过30元的概率；

（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用。前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，现前台工作人员为3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更为有利? 21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝1－lnx＋a2x2－ax（a∈R）． （1）当a≥0时，讨论函数f（x）的单调性； （2）若a＝0且x∈（0，1），求证：

（fx）21＋x－＜1． exx4

选考部分：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做。则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??x＝tcosα?5?（其中α∈[，），t为参

66y＝tsinα?数）在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：ρ＝cos（θ－

?）． 3（1）求直线l的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C1，C2分别相交于异于原点的点M，N，求｜MN｜的范围．

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知f（x）＝｜x－1｜＋｜ax＋1｜，g（x）＝｜x＋1｜＋2． （1）若a＝

1，求不等式f（x）＜2的解集； 2（2）设关于x的不等式f（x）≤g（x）的解集为A，若集合（0，1]?A，求a的取值范围．

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