大学生数学建模有关传染病论文

数的增长率和感染人数有关，是其线性函数的假设，可得增长率关于感染者人数的线性函数关系式：

r(x)?r0?kx

进一步，由最大感染时对应的增长率为零可确定参数k的值为：k?r0 xm因此，在该模型的假设下，感染人数 x(t) 应满足如下的微分方程：

x?dx?r(x)x?r(1?)x0?dtx ?m?x(0)?x0?MATLAB >>dsolve(‘Dx=r0*(1-x/xm)*x’,’x(0)=x0’) ans=xm/(1+exp(-r0*t)*(xm-x0)/x0) ? 模型求解

这是一个非线性微分方程，利用微分方程中的分离变数法，求得其解为：

x(t)=

xm?xm??r0t?1???1?x?e?0?

X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232] ;

r1=0.3067;t=0:14;X1=39*exp(r1*t) r2=r2=-log(75933/103933); r2=-log(75933/103933); ans=0.3139;

五、模型分析及评价

? 模型分析

根据前述微分方程作出dx/dt~x的曲线图，见图1-1，这是一条拋物线。由该图可看出感染人数增长率随感染人数的变化规律：增长率随着感染人数的增加而先增后减，在xm/2时达到最大。这预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注和需要密切注意的时刻。因为感染人数增长率在一定程度上代表了医疗卫生水平，增长率越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来

r0将问题所给出表中t=0时刻和t=1时刻的数据代入所建立的两个模型中，确定模型中的未知参数r和

，然后再利用它们得到t=2

到t=14时刻的仿真数据，进一步地可以得到两个模型的仿真误差百分比。两个模型仿真效果和性能可以从下面的表和图中清晰地看出。

实际感染人数与按两个模型计算的感染人数的比较表

X=[39,53,72,96,129,171,232,314,386,502,629,760,920,1065,1232] x1=dsolve('Dx=r1*x','x(0)=39')

r1=log(53/39)

x2=dsolve('Dx=r2*x-r2/2000*x^2','x(0)=39') r2=solve('78000/(39+1961*exp(-r2))=53') r1=0.3067;t=0:14;X1=39*exp(r1*t)

r2=-log(75933/103933); for t=0:14;

X2(1,t+1)=78000/(39+1961*exp(-r2*t)); end;

Y1=(X1-X)./X*100;Y2=(X2-X)./X*100;XX=[X;X1;X2;Y1;Y2]; Y2=abs(Y1);

3000原始数据模型1的仿真数据模型2的仿真数据25002000感染人数1500100050002468时间101214

a=1:15;

plot(a,X,'r--',a,X1,'b+-',a,X2,'g.:');

legend('原始数据','模型1的仿真数据','模型2的仿真数据','Location','NorthWest');

ylabel('感染人数'); xlabel('时间'); axis([1,15,0,3000]);