当前位置：首页 > 2016新课标创新人教A版数学必修5 1.1正弦定理和余弦定理
(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． 练一练
3．已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sin C. 解：∵a>c>b， ∴A为最大角． 由余弦定理，得
b2＋c2－a232＋52－721
cos A＝＝＝－，
2bc22×3×5又∵0° ，由正弦定理，得 2 c·sin A5353 sin C＝＝×＝. a7214 讲一讲 4．在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C．试判断△ABC的形状． [思路点拨] 把已知条件中的正弦函数式化为余弦，再由余弦定理把式子化为边的关系式． [尝试解答] 将已知等式变为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C. 由余弦定理， a＋c－ba＋b－ca＋b－c?a＋c－b?可得b＋c－b·?－c2·?＝2bc··， 2ac2ab?2ab??2ac?2 2 2 2 2 2 2 222 2 222222 [（a2＋b2－c2）＋（a2＋c2－b2）]2 即b＋c＝. 4a22 2 所以b2＋c2＝a2. 所以△ABC为直角三角形． 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 练一练 4．在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状． 解：结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn a＋c－b?b＋c－a??a－c··b＝?b－c··a， 2ac?2bc???整理得，(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 所以a2＋b2－c2＝0或a2＝b2， 所以a2＋b2＝c2或a＝b， 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． ——————————————[课堂归纳·感悟提 升]——————————————— 1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择． 2．本节课要掌握的解题方法： (1)已知三角形的两边与一角，解三角形，如讲1和讲2. (2)已知三边解三角形，如讲3. (3)利用余弦定理判断三角形的形状，如讲4. 3．本节课的易错点有两处： (1)正弦定理和余弦定理的选择： 已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单． (2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件． 2 2 2 2 2 2 [即时达标对点练] 题组1 利用余弦定理解三角形 1．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( ) A.3 B.2 C.5 D．5 解析：选A 由余弦定理，得 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3， ∴c＝3，故选A. 2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( ) ππππA. B. C. D. 36412解析：选B ∵a>b>c， ∴C为最小角，由余弦定理得 a2＋b2－c272＋（43）2－（13）23cos C＝＝＝， 2ab22×7×43π ∴C＝. 6 3．已知在△ABC中，b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( ) 1322A. B. C. D. 4443解析：选B ∵b2＝ac，c＝2a， ∴b2＝2a2， a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23∴cos B＝＝＝. 2ac4a24 4．已知a，b，c为△ABC的三边长，若满足(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：选C ∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab， ∴a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c21 即＝－， 2ab21∴cos C＝－， 2∴C＝120°. 5．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________． 1 解析：由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋42－2×2×4×＝12， 2∴C＝23. ac 由正弦定理＝得， sin Asin C32× 21asin C sin A＝＝＝. C232∵0° 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn ∴A＝30°. 答案：30° 7 6．设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.求 9a，c的值． 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)． 7 又b＝2，a＋c＝6，cos B＝， 9所以ac＝9， 解得a＝3，c＝3. A 7．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cos A 2＝0. (1)求角A的值； (2)若a＝23，b＝2，求c的值． A 解：(1)∵cos A＝2cos2－1， 2A ∴2cos2＝cos A＋1. 2A 又2cos2＋cos A＝0， 2∴2cos A＋1＝0， 1 ∴cos A＝－， 2∴A＝120°. (2)由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A， 1 又a＝23，b＝2，cos A＝－， 21－?， ∴(23)2＝22＋c2－2×2×c×??2? 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去)． 题组2 利用余弦定理判断三角形的形状 8．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 解析：选D ∵b2＝ac，B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B， 得a2＋c2－ac＝ac， 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 搜索更多关于： 2016新课标创新人教A版数学必修5 1.1正弦定理和余弦定 的文档
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