数学建模 - 单摆可以用来作钟摆吗？

地质10-7班 江强 2010011416

单摆可以用来作钟摆吗？

摘要 一个钟摆，一会儿朝左，一会儿朝右，周而复始，来回摆动。钟摆

总是围绕着一个中心值在一定范围内作有规律的摆动，所以被冠名为钟摆理论。因此单摆要想用来做钟摆，就必须保证其来回摆动的周期不变。摆动规律大致分为两种情况：小角度摆动和大角度摆动，分别针对这两种情况，建立单摆模型，计算单摆周期，最后得出结论。

关键字 钟摆 单摆周期 小角度摆动 大角度变动 摆动微分方程

1 问题提出

单摆最为一种最简单的摆动，分析其运动规律，探讨其是否满足钟摆理论，从而用来做钟摆。 2 模型假设

1）悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多； 2）装置严格水平；

3）运动过程中，不受任何阻力，且无驱动力。 3 符号说明

--单摆偏离平衡位置的角位移； g -- 重力加速度，取9.8m/s2； ?（rad）

?0(rad) --单摆的最大摆角； l -- 细线长，取1m； t(s)-- 单摆摆动时间； T（s）-- 单摆的周期 4 模型建立

1）最简单的单摆模型(如图1)

图1 简单单摆模型

1

2）小角度时单摆运动规律（?<5o）

单摆运动过程中若不考虑阻力，得到单摆的运动方程：

d2?g+sin?=0 (1) 2dtl当摆角?很小时,sin???,故方程（1）可简化为:

d2?g+?=0 （2） dt2l这是一个简单的谐振动方程，其解析解为：

?=Acos(?0??0) (3)

其固定角频率为：

?0=

得其周期为：

T0=

g （4） l2???0?2?l （5） g可以利用matlab软件在[0, 5o]分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像，如图

图2 小角度单摆摆动规律

（—方程（1）的解 ，**方程（2）的解）

2

由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合，可以说明当?较小时（?<5o），两方程的解几乎相等，故周期公式此时较为准确。

由此可知，当单摆的摆角很小时，其周期为 ，是一个常数。因此，可以用来做钟摆。

上述结论仅仅适用于摆角?很小时（?<5o），当摆角很大时，方程sin???不再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近，故周期公式（5）不再成立。下面我们继续讨论摆角比较大时的单摆运动规律。 3）大摆角时单摆运动规律

（1）文献【2】从相图的角度得出单摆运动周期的精确解为： T=

2T0?

??20d?1?sin(?0/2)sin?22 （6）

为研究大摆角时单摆运动周期准确解，我们利用matlab软件在[0, ?]区间上2做出T0、

T的图像，得到周期的准确解。 T0大摆角周期

固有周期

周期比T/T0

图3单摆大摆角周期准确解

3

T如图可以看出，随着摆角的增大，单摆的运动周期逐渐增大，也随之增大。

T0因此，当摆角过大时，单摆运动的周期不再是一个常数，而是随着摆角的增大而增大。如果用来做钟摆，可能会出现问题。 5 结论

对于单摆来说，当摆角较小（小于5°）时，其周期之和摆长以及重力加速

度有关，为一确定的常数。但当摆角过大时，周期会随着摆角的增大而增大。因此，如果将单摆用来做钟摆，一定要将其摆角控制在一个很小的范围内，这样的钟摆才准确。 参考文献：

1，万明理，何金娜，基于matlab下对单摆实验中大摆角问题的讨论[J]，大学物理实验，第23卷6期，2010年12月；

2，金亚平，单摆周期的相图求解[J] ，大学物理，2000，19（10）； 3，孙春峰，非线性单摆的格林函数解法[J] ，大学物理，2004,23（1）；

4，韦德泉，王秋芳，单摆角振幅对其周期的影响[J]，洛阳大学学报，2003,18（2）.

4