人教版高中数学必修五教案 6.示范教案(2.4.1 等比数列的概念及通项公式)

aa2a3a4???...?n?q,再思考.a1a2a3an?1

如果我们把上面的式子改写成

aaa2a?q,3?q,4?q,...,n?q.a1a2a3an?1那么我们就有了n-1个等式，将这n-1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是

an?qn?1,于是，得an=a1q n-1.a1

师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？

师 在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明.

师 让学生说出公式中首项a1和公比q的限制条件. 生 a1，q都不能为0. ［知识拓展］

师 前面实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的呢？

教师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.

某种储蓄按复利计算成本利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.

（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；

（2）如果存入本金1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.

师 前面实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题

是用函数的知识和方法解决问题的. 生 比较两种方法，思考它们的异同. ［教师精讲］

通过用不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等比数列和指数函数可以联系起来.

(1)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？

(2)在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an?()n?1的数列的图象和函数y=()x-1的图象，你又发现了什么？

生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出二者之间的关系.

师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.

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观察它们之间的关系，得出结论：等比数列是特殊的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点.

师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等比数列，并填充下列表格： 定 义 等差数列 等比数列 从第二项起，每一项与它从第二项起，每一项

前一项的差都是同一个与它前一项的比都是常数 首项、公差(公比)没有任何限制 取值有无限制 通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1 同一个常数 首项、公比都不能为0 相应图象的特点 直线y=a1+(x-1)d上孤立函数y=a1qx-1图象上的点 ［例题剖析］

孤立的点 【例1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？

师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.

【例2】 根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？ 师 将打印出来的数依次记为a1(即A)，a2，a3，…. 可知a1=1;a2=a1×;a3=a2×. 于是，可得递推公式

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?a1?1,?.?1an?an?1(n＞1)?2?

由于

an1?，因此，这个数列是等比数列.an?12

生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式. 练习：

1.一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.

师 启发、引导学生列方程求未知量. 生 探究、交流、列式、求解. 2.课本第59页练习第1、2题.课堂小结

本节学习了如下内容： 1.等比数列的定义. 2.等比数列的通项公式. 3.等比数列与指数函数的联系.布置作业

课本第60页习题2.4 A组

第1、2题.板书设计

等比数列的概念及通项公式 1.等比数列的定义 实例剖析 2.等比数列的通项公式 从三个角度类比等差数列