高三数学关于排列组合问题的复习

关于排列组合问题的复习

一可重复问题

例1.(1)将4封信投入3个邮筒,有多少种不同投法?

(2)三位旅客到4个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法?

析:对于可重复问题,所得结果往往发生在nm和mn之间的混淆,正确回答问题的关键是\选 择谁\4 (2)43

二不可重复问题 <一>无限制排列

例1.(1) 由1,2,3,4,5可以组成多少个无重复的五位数? (2)从A,B,C,D中选三个字母可以组成多少个排列?

析:参与的元素及其所给的位置相等,并且任意元素在位置放置上没有要求.(1)5！(2)C4?3！ <二>有限制排列 1.优待问题:

例1.甲'乙'丙三名同学在课余时间负责一个周一至周六的值班工作,每天一人值班,每人值班两天,如果甲不值周一的班,则可以排出不同的值班表有多少种?

例2.在7名运动员中选4名组成接力队参加4?100米接力赛,甲乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?

2222 析:先满足特殊元素或特殊位置,再去满足其它元素位置.(1)C5C4C2(2)C5A2? C5A2?

22232.相邻问题捆绑法

例1.从单词”equation”中选取5个不同的字母排成一排,含有”qu”(其中”qu”相连接且顺序不变)的排法共有多少种?

例2.计划在某画廊展开10幅不同的画,其中1幅水彩画’4幅油画’5幅国画,排成一排陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在在两端,则不同的陈列方式有多少种? 析:对于某些元素要求相邻的排列问题,可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列,同时相邻元素进行自排.①C6A4②A2A4A5

3.不相邻问题插空法

例1.5个男生3个女生排成一排,要求女生不相邻且不可排两头,共有几种排法? 例2. (1)4男3女排成一排,男’女生必须相间而排有多少种排法? (2)4男4女排成一排,男’女生必须相间而排有多少种排法?

析:先安排好没限制的元素,然后在排好的元素之间的空位和两端插入不能邻的元素不相邻问题不同于相间问题, 相间问题的一个显著特点双方元素的个数只能相等或相差一个个数不等先排少的,相等的情况分析.①A5A4②A3A4 2A4A4

4.定序均分问题先排后除法

例1.5人站成一排,如果甲必须站在乙的左边,则不同的排法有多少种? 例2.按一下要求分配6本不同的书,各有几种分法? (1) 分成1本2本3本三组; (2) 平均分成三组,每组2本;

53343424544(3) 分成三组,一组4本,另外两组各一本.

析:(1)平均分组问题:般来说,km个不同元素分成k组每组m个则不同的分法有:

mmckm?c(mk?1)m???cmAkk种.

(2)部分均分组问题先将不均分那一部分取出,然后将剩下的部分平均分组. (3)不均分分组问题:由于各组均不相等,直接组合.

22211C6C4C2C64C2C115123 1①A5①C6C5C3②③ 322A3A25.不同元素分配先分组再分配法

例1.5个不同小球,分到三个不同小盒中,每盒至少一个,有几种不同分法?

析:对于不同元素的分配问题,可以按需分配,亦可按先分组然后再分配的方

1133C5C4C33A122式. A3+C5C4C2322A2A26.相同元素分配的隔板法

例1.10个相同小球放到3个不同盒中,每个盒不空,一共有多少种不同放法?

例2.将组成蓝球队的10个名额分配给7所学校,每校至少一名,问名额的分配方式有多少种?

析:问题的一般形式:把n个相同小球放到m个(m＜n)不同盒子中,有多少种放法?

(1) 若每个盒子中至少放一个球,则只需在n个小球的n-1个间隙中放置m-1块隔板共有

Cn?1种不同分法.

(2) 若允许某些盒子不放球,则相当于在n+m-1个位置中选放m-1块隔板,把个n小球分隔

成m份,共有Cn?m?1种放法.①C9②C9 7.映射与涂色问题

例1.设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8}

(1)从A到B可以建立多少个不同映射? 3

11C52C323C5C43A3?A3 (2)若要求B中每个元素都有象,则共有多少种映射? 22m?126m?15例2.一个地区分为5个行政区,现给地图着色,要求相邻区不使用同一种颜色,现有4种可供选择,则不同的着色方法共有多少种?A4?2A4

348.等价问题转化法

例1.10级楼梯,要求7步跨完,且每步最多跨2级,问有几种不同跨法? C7

例2.某城市有7条南北向的街,5条东西走向的街,如果从城市的一端O走向另一端A最短走法有多少种? O

C10 A

9.合理分类准确分步

例1.有11名外语翻译人员,其中5名会英语,4名会日语,另外两名英’日语都会,从中选出8人,组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方法? 析:对于较复杂问题由于情况较多进行合理分类准确分步,避免重复或遗漏发生.

22442213313441344 C2C5C4?C5C2C4?C2C4C5+C2C5C4?C5C2C4?C5C4

43 10.几何问题

例1.四面体的顶点和各面中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同取法共有多少

44种? 析:C10?4C6?6?3