(江苏专版)2019年高考数学一轮复习 专题2.3 函数奇偶性与周期(讲)

专题2.3 函数奇偶性与周期

【考纲解读】

要 求 内 容 A B C 1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定 函数概念与基函数的基本性质 本初等函数Ⅰ √ 2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地 利用对称性解决函数的综合问题． 【直击教材】

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1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x＋，则f(－1)＝________.

义判断一些简单函数的奇偶性． 备注 x【答案】－2

2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 【答案】－1

3．定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)，若f(2)＝－1，则f(－6)的值为________． 【答案】4

【知识清单】

1 函数奇偶性的判断

奇偶性 偶函数 定 义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－图像特点 关于y轴对称 奇函数 2 函数奇偶性的应用

f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．

利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．

常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． (3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断． 3.函数的周期性 (1)周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

【考点深度剖析】

函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．

【重点难点突破】

考点1 函数奇偶性的判断

【1-1】判断函数f(x)＝1－x＋x－1的奇偶性； 【答案】f(x)既是奇函数又是偶函数． ?1?x2?0【解析】解：∵由?2得x＝±1

x?1?0?2

2

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

4－x【1-2】判断函数f(x)＝的奇偶性；

|x＋3|－3【答案】f(x)是奇函数．

?4?x2?0【解析】∵由?得－2≤x≤2且x≠0.

|x?3|?3?0?2

∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，

4－x4－x4－x∴f(x)＝＝＝，

|x＋3|－3?x＋3?－3x∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

?x2?x,x?0【1-3】判断函数f(x)＝?2的奇偶性；

x?x,x?0?222

【答案】f(x)是偶函数．

【1-4】判断函数f(x)＝3－2x＋2x－3的奇偶性； 【答案】f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

3【解析】∵函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为{}，不关于坐标原点对称，

2∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 【思想方法】

1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：

(2)图像法：

2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件 考点2 函数奇偶性的应用

【2-1】已知y＝f(x)＋x是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________. 【答案】－1.

【解析】(1)∵y＝f(x)＋x是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.

【2-2】设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式【答案】 (－∞，－2)∪(0,2)．

2

2

2

f(x)?f(?x)?0的解集为________.\\

x

【2-3】设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f(x)＝f(x＋4)，当x∈[－2，0)时，f(x)＝2，则f(2 014)－f(2 013)的值为_______. 1

【答案】 4

【解析】由题可知函数的周期为4，故f(2 014)－f(2 013)＝f(2)－f(1)．因为f(x)是R上的奇函数，所11111－2－1

以f(2)＝－f(－2)＝－2＝－，f(1)＝－f(－1)＝－2＝－，所以f(2 014)－f(2 013)＝－＋＝. 42424【2-4】已知函数f(x)＝x【答案】-1

【解析】由已知必有m2－m＝3＋m，即m2－2m－3＝0，∴m＝3，或m＝－1；

当m＝3时，函数即f(x)＝x－1，而x∈[－6,6]，∴f(x)在x＝0处无意义，故舍去；

当m＝－1时，函数即f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1. 【思想方法】

①若函数f(x)为偶函数，则函数在y轴两侧单调性相反；若函数f(x)为奇函数，则函数在原点两侧的单调

2－mx是定义在区间[－3－m，m－m]上的奇函数，则f(m)＝________.

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