北师大版2020年中考数学模拟试题及答案(含详解) (13)

（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB； （3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC?AC． 【分析】（1）先判断出OD=OA，∠AOM=∠DON，再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM，判断出△DON≌△AOM即可得出结论；

（2）先判断出四边形DENM是菱形，进而判断出∠BDN=22.5°，即可判断出∠AMB=67.5°，即可得出结论；

（3）设CE=a，进而表示出EN=CE=a，CN=据勾股定理得，AC=

（a+b），

a，设DE=b，进而表示AD=a+b，根

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，得出∠EDN=∠DAE，进而判断出△DEN∽△ADE，得出AC=

，进而得出a=

b，AN=AC﹣CN=

b，即可表示出CN=

b，

b，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O， ∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°， ∴∠OND+∠ODN=90°， ∵∠ANH=∠OND， ∴∠ANH+∠ODN=90°， ∵DH⊥AE， ∴∠DHM=90°， ∴∠ANH+∠OAM=90°， ∴∠ODN=∠OAM， ∴△DON≌△AOM， ∴OM=ON；

（2）连接MN， ∵EN∥BD，

∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD， ∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON， ∵OD=OD， ∴DM=CN=EN，

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∵EN∥DM，

∴四边形DENM是平行四边形， ∵DN⊥AE， ∴?DENM是菱形， ∴DE=EN， ∴∠EDN=∠END， ∵EN∥BD， ∴∠END=∠BDN， ∴∠EDN=∠BDN， ∵∠BDC=45°， ∴∠BDN=22.5°， ∵∠AHD=90°，

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°， ∵∠ABM=45°，

∴∠BAM=67.5°=∠AMB， ∴BM=AB；

（3）设CE=a（a＞0） ∵EN⊥CD， ∴∠CEN=90°， ∵∠ACD=45°， ∴∠CNE=45°=∠ACD， ∴EN=CE=a， ∴CN=

a，

设DE=b（b＞0）， ∴AD=CD=DE+CE=a+b， 根据勾股定理得，AC=

AD=

（a+b），

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN， ∵∠OAD=∠ODC=45°，

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∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°， ∴△DEN∽△ADE， ∴∴∴a=∴CN=

， ，

b（已舍去不符合题意的） a=

b，AC=b，

b?

b=2b2

（a+b）=

b，

∴AN=AC﹣CN=

∴AN2=2b2，AC?CN=∴AN2=AC?CN．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，平行四边形，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出四边形DENM是菱形是解（2）的关键，判断出△DEN∽△ADE是解（3）的关键．

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