2020版高考数学二轮复习第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题教案（文） - 图文

策略4 妙用8个二级结论巧解高考题

结论1 奇函数的最值性质

已知函数fx是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有fx＋f－x＝0.特别地，若奇函数fx＝0.- 1 -

在D上有最值，则fxmax

＋fxmin

＝0，且若0∈D，则f0

x＋12＋sin x【典例1】 设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝

x2＋1

________.

2 [显然函数f(x)的定义域为R，

x＋12＋sin x2x＋sin xf(x)＝＝1＋， 2

x＋1x2＋1

2x＋sin x设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，

x2＋1∴g(x)为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，

∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]

【链接高考1】 (2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x－x)＋1，f(a)＝4，则

2

f(－a)＝________.

－2 [由f(a)＝ln(1＋a－a)＋1＝4，得ln(1＋a－a)＝3，所以f(－a)＝ln(1＋a＋a)＋1＝－ln

1

2

2

2

2

1＋a＋a＋1＝－ln(1＋a－a)＋1＝－3＋1＝－2.]

2

结论2 函数周期性问题

已知定义在R上的函数fx，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得fx＋T＝fx，则称fx是周期函数，T为其一个周期.,常见的与周期函数有关的结论如下：

1如果f2如果fx＋a＝－fxx＋a＝

fx1

a≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a. a≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝2a.

3如果fx＋a＋fx＝ca≠0，那么fx是周期函数，其一个周期T＝

2a.

4如果fx＝fx＋a＋fx－a周期T＝6a.

a≠0，那么fx是周期函数，其一个

?3?【典例2】 已知定义在R上的函数f(x)满足f?x＋?＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝

?2?

－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝( )

- 1 -

A．－2 B．－1 C．0 D．1

?3?A [因为f?x＋?＝－f(x)， ?2?

?3?所以f(x＋3)＝－f?x＋?＝f(x)，则f(x)的周期T＝3. ?2?

则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 014)＋f(2 015)＋f(2 016)－f(2 016)＝672×[f(1)＋f(2)＋f(3)]－f(2 016)＝－f(0＋3×672)＝－f(0)＝－2，故选A.]

【链接高考2】 [一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )

A．－50 B．0 C．2 D．50

C [法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.

πx法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列

2{f(n)}(n∈N)是以4为周期的周期数列．

故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.]

结论3 函数图象的对称性 已知函数fx是定义在R上的函数. 1若fa＋x＝f*

a＋bb－x恒成立，则y＝fx的图象关于直线x＝对称，特

2

的图象关于直线x＝a对称.

别地，若fa＋x＝fa－x恒成立，则y＝fx2若fa＋x＋fb－x＝c，则y＝fx的图象关于点?别地，若fa＋x＋fa－x＝2b恒成立，则y＝f?a＋b，c?中心对称.特

2??2?

x的图象关于点a，b中心对称.)

【典例3】 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(1－x)，且在[1，＋∞)上是

?1?增函数，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意的x∈?，1?恒成立，则实数a的取值范围是( )

?2?

- 2 -

A．[－3，－1] C．[－5，－1]

B．[－2,0] D．[－2,1]

B [由f(x＋1)＝f(1－x)可知f(x)图象关于x＝1对称，当a＝0时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|2－1|≤|x－1－1|，解得x≥3

?1?或x≤1，满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈?，1?恒成立，由此排除A，C两个选项．当

?2?

a＝1时，不等式f(ax＋2)≤f(x－1)化为f(x＋2)≤f(x－1)，由函数f(x)的图象特征可得|x1?1?＋2－1|≤|x－1－1|，解得x≤，不满足不等式f(ax＋2)≤f(x－1)对任意x∈?，1?恒成立，2?2?由此排除D选项．综上可知，选B.]

【链接高考3】 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( ) A．f(x)在(0,2)单调递增 B．f(x)在(0,2)单调递减

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称 C [f(x)的定义域为(0,2)．

f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．

设u＝－x＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y＝ln u在其定义域上单调递增，

∴f(x)＝ln(－x＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A，B错误．

∵f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝f(2－x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．

∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋ln x]＋[ln x＋ln(2－x)]＝2[ln x＋ln(2－x)]，不恒为0，

∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误． 故选C.]

结论4 对数、指数形式的经典不等式 1．对数形式：1－

x2

2

2

1

≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)，当且仅当x＝0时，等号成立． x＋1

2．指数形式：e≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立． 【典例4】 设函数f(x)＝1－e.证明：当x＞－1时，f(x)≥[证明] f(x)≥

－xxx＋1

. xx1－x－x(x＞－1)?1－e≥(x＞－1)?1－≥e(x＞－1)?x＋1x＋1x＋1x＋1

- 3 -

x

1xxx≥x(x＞－1)?x＋1≤e(x＞－1)．由经典不等式e≥x＋1(x∈R)恒成立可知x＞－1时，e≥xe＋1.即x＞－1时，f(x)≥

xx＋1

.

【链接高考4】 (2016·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝ln x－x＋1. (1)讨论f(x)的单调性；

x－1

(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x；

ln x(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞c.

1

[解] (1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得xxx＝1.

当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． (2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值， 最大值为f(1)＝0.

所以当x≠1时，ln x＜x－1.

11

故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln＜－1，

xxx－1即1＜＜x.

ln x(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－c， 则g′(x)＝c－1－cln c.

xxc－1ln

ln c令g′(x)＝0，解得x0＝.

ln c当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增； 当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．

c－1

由(2)知1＜＜c，故0＜x0＜1.

ln c又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0. 所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞c. 结论5 等差数列的有关结论

1．若Sm，S2m.S3m分别为等差数列{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，

xS3m－S2m成等差数列．

2．若等差数列{an}的项数为2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S

- 4 -