立体几何中平行与垂直的证明

立体几何中平行与垂直的证明

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2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.

D1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;

例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1， O是底ABCD对角线的交点．

求证：（1）C1O//平面AB1D1； （2）A1C⊥平面AB1D1． 【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法：

AA1DOCB11CB?AA?1,AB?1【变式一】如图，在长方体ABCD中,AD，点E在棱AB上移动。 ?ABCD11111D1求证：D1E⊥A1D；

B1【反思与小结】1．证明线线垂直的方法： A11． 谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体

【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF， ABCD是正方形，ABEF是矩

C1DAE

B

C

?形，且AF1AD?2,G是EF的中点， 2（1）求证平面AGC⊥平面BGC； （2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？

【变式二B】. 如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)A中，BC?ABC111AB?8，

B1A1C?10，DAC?6，B（Ⅰ）求证：

是BC边的中点.

∥ 面AB1D；

C1AB?AC）求证：A1C1； （Ⅱ

【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？

【变式三】如图组合体中，三棱柱A的侧面ABBBC?ABC1111A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC?平面A1AC；

（Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A与圆柱的体积比． BCCB1?11ABDC【反思与小结】

1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。

2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会

【变式四】如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE. 【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？

D C F M A B

E 【变式五】如图5所示，在三棱锥P中，PA?平面ABC， ?ABC，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。 AB?BC?CA?3（1）证明：平面P平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心； AB?【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。 2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱 柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。

3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法 _ A_ C

_ M

_ B

课后练习

1．如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。 （I）求证：B1C//平面A1BD； （II）求证：B1C1⊥平面ABB1A

（III）设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD⊥平面BDE，并说明理由。

2.如图，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，三角形ACD 为等边三角形，A，F为CD的中点 D?DEA?2B（1）求证：AF//平面BCE；

CE?平面CDE； （2）求证：平面B

_ P

1．

如图，四棱锥P中，PA?底面ABCD， ?ABCP，AC，?，PA， ?CDABC?60??AB?BCAB?ADE是PC的中点． （1）求证：CD； ?AEE（2）求证：PD?面ABE．

AD

CB

2． 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠

BAD=90°，PA=BC=

1AD. 2（I）求证：平面PAC⊥平面PCD；

（II）在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若 存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.

5.如图， 在四棱锥S中，，，底面A且?，?ABCDSA?AB?2BCD是菱形，ABC?60?SB?SD?22SE为CD的中点．

（1）证明：CD?平面SAE；

（2）侧棱SB上是否存在点F，使得CF//平面SAE？并证明你的结论．

B

AECD