【创新方案】高考数学(理)一轮知能检测：第6章 第2节 一元二次不等式及其解法

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第二节 一元二次不等式及其解法

[全盘巩固] ?x－2?

1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝?x≤0?，则A∩B＝( )

?x?

A．{x|－1≤x<0} B．{x|0

解析：选B ∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0

1

2．(2013·江西高考)下列选项中，使不等式x<

x

A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)

解析：选A 当x>0时，原不等式可化为x2<11，化为?3解得x<－1.

??x<1，

3．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3)

解析：选C 把原不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，

2??f?－1?＝x－5x＋6>0，

则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需?解得x<1或x>3.

?f?1?＝x2－3x＋2>0，?

4．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2

1c

解析：选B 由根与系数的关系知＝－2＋1，－＝－2，得a＝－1，c＝－2.f(－x)＝

aa

－x2＋x＋2的图象开口向下，由－x2＋x＋2＝0，得两根分别为－1和2.

5．在R上定义运算“*”：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－y)*(x＋y)<1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是 ( )

1331－，? B.?－，? A.??22??22?C．(－1,1) D．(0,2)

解析：选A 由题意知，(x－y)*(x＋y)＝(x－y)[1－(x＋y)]<1对一切实数x恒成立，∴－x2＋x＋y2－y－1<0对于x∈R恒成立，∴Δ＝12－4×(－1)×(y2－y－1)<0，∴4y2－4y－3<0，

13解得－

6．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是( )

A．[1,19] B．(1,19) C．[1,19) D．(1,19] 解析：选C 函数图象恒在x轴上方，即不等式

(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3>0对于一切x∈R恒成立．

(1)当a2＋4a－5＝0时，有a＝－5或a＝1.若a＝－5，不等式化为24x＋3>0，不满足题

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意；若a＝1，不等式化为3>0，满足题意．

2??a＋4a－5>0，2

(2)当a＋4a－5≠0时，应有?解得1

?16?a－1?2－12?a2＋4a－5?<0，?

综上可知，a的取值范围是[1,19)． 7．(2014·福州模拟)若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．

解析：原不等式即(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1

答案：[－4,3]

8．当a≠b时，关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2的解集是________． 解析：将原不等式化为(a2－b2)x＋b2≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2， 移项，整理后得(a－b)2(x2－x)≤0，

∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴x2－x≤0，即x(x－1)≤0， 解得0≤x≤1，故原不等式的解集为{x|0≤x≤1}． 答案：{x|0≤x≤1}

＋

9．若关于x的不等式4x－2x1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．

xx＋1xx＋1

解析：∵4－2－a≥0在[1,2]上恒成立，∴4－2≥a在[1,2]上恒成立．

＋

令y＝4x－2x1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1. ∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.

由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0.∴a的取值范围为(－∞，0]．

答案：(－∞，0]

10．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3<0(a∈R)． 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)<0，

(1)当a＝a2即a＝0或a＝1时，原不等式变为x2<0或(x－1)2<0，解集为?； (2)当a>a2即0

(3)当a2>a即a<0或a>1时，解集为{x|a1时，解集为{x|a

(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．

解：(1)根据题意，m≠1且Δ>0，即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0， 得m2>0，所以m≠1且m≠0.

m－2

x＋x＝，??1－m

(2)在m≠0且m≠1的条件下，?1

xx＝??1－m，1

212

11?211x1＋x2112

＋因为＋＝＝m－2，所以2＋2＝?－＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.

x1x2x1x2x1x2?x1x2?x1x2

得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.所以m的取值范围是{m|0

12．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？

解：假设一次上网x(0

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公司B收取的费用为1.7＋(1.7－0.1)＋(1.7－0.2)＋…＋[1.7－(x－1)×0.1]＝

x?35－x?20

x?35－x?

(元)．由>1.5x(0

20

故当0

[冲击名校]

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0，?与?，＋∞?上分别递减和1．偶函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间??2??2?

递增，则不等式x3f(x)<0的解集为( )

A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4，－1)∪(1,4) C．(－∞，－4)∪(－1,0)

D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 解析：选D 由图知，f(x)<0的解集为(－4，－1)∪(1,4)，∴不等式x3f(x)<0的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4)．

2．设a∈R，若x>0a＝________. 解析：∵x>0，∴当a≤1时，(a－1)x－1<0恒成立． ∴[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0不可能恒成立．∴a>1.

对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x20.

又当x>0时，原不等式恒成立，通过y＝(a－1)x－1与y＝x2－ax－1图象可知

13x1＝必须满足方程x2－ax－1＝0，即x1＝x3，代入解得a＝或a＝0(舍)．

2a－1

3答案： 2

[高频滚动]

1．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( ) A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y|

解析：选C 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0,3z

??x>0，

所以x>0，z<0.所以由?可得xy>xz.

?y>z，?

2．(2013·浙江高考)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：

???a，a≤b，?b，a≤b，a∧b＝?a∨b＝?

?b，a>b，?a，a>b.??

若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则( ) A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2 解析：选C 事实上本题的“∧”和“∨”运算就是取最小值和最大值运算，而ab≥4，则a，b中至少有一个大于或等于2，否则ab<4，∴a∨b≥2；同理c＋d≤4，则c，d中至少有一个小于或等于2，∴c∧d≤2.

时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则

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