八年级培优专题（一）

培优提升专题一： 勾股定理

一．基础知识回顾

1．直角三角形的性质： ⑴角：①两锐角互余；②斜边上的高与一直角边所成的角等于这条直角边所对的角；⑵边：①斜边是最长的边 ②斜边的中线等于斜边的一半；⑶边、角：①30°角所对的直角边等于斜边的一半；②在直角三角形中，若有一直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角是３０°；⑷勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理：三角形中，若有两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形.⑸射影定理：Rt?ABC中，?C?９０°，CD?AB，则①

AB?CD?AC?BC ②AC2?AD?BA③BC2?BD?BA④CD2?AD?BD

2．Rt?的判定方法：⑴三角形有两个角互余； ⑵勾股定理的逆定理； ⑶若三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形是直角三角形

3勾股数规律性的探讨；4.三个常见的直角三角形三边的比例关系；5.利用三角形的三边长判定三角形的形状 二．典型分析

1．（1）若直角三角形的两边长分别为1与3，则第三边长为 ； （2）已知Rt?的三边长分别为x,x?1,5，那么这个三角形的周长为 ，它的面积为 ；

（3）已知一个三角形的两边长分别为15与13，第三边上的高为12，则这个三角形的第三边长为 （4）已知一个三角形三边长分别为3、5、7，则此三角形的形状为________ （5）已知a,b,c是一个三角形的三边，满足a （6）在Rt?ABC中，?ACB?90?,AC?b?c且c2?2ab，则此三角形的形状为________

（第2题图）

?3,BC?4,CD?AB 于D，则BD?________

H2．如图，∠xoy=60°，M是∠xoy内的一点，它到ox的距离MA为2，

它到oy的距离为11，求OM的长.

3．如图，一张矩形纸片

DECABCD的边长分别为9㎝和3㎝，把顶点A与C叠合在一起，得到折痕EF ⑴证明四边形AECF是菱形；⑵计算折痕EF的长；⑶求?CEH的面积

?90?,AC?8,?A的平分线AD?163A第3题FB4．如图，在Rt?ABC中，?C5．如图，正方形若PA?

CD第4题BA3，求?B的度数及边BC、AB的长.

ABCD外有一点P，P在BC的外侧，并夹在平行线AB与CD之间.

AB17,PB?2,PC?5，求PD长.

ABAPADPbCha第8题cBD第5题CA1P1第6题B1BP第7题C6．如图，已知?A??B,AP?PB，AAAA1,PPPP1,BB1均垂直于A1?16,BB1B1，A1?20。求1B1?121?17,的长.

7．如图，P为?ABC边BC上一点，且PC 8．如图，在Rt?ABC中，?ACB求证：⑴

?2PB，已知?ABC?45?,?APC?60?，求?ACB的度数.

?90?，CD?AB于D，设AC?b,BC?a，AB?c， CD?h.

111??a2b2h2 ；⑵a?b?c?h；⑶以a?b,h,c?h为边的三角形是Rt?.

9．一个直角三角形的三边长均为整数，已知它的一条边长为15，那么满足条件的直角三角形有多少个，请一一列举出来 10．求代数式x2?1??4?x?2?4的最小值.

a2?c2?d2?2cd?b2?c2?a2?b2?d2?2ab. 11．已知a,b,c,d都是正数，求证：

A三.课后作业

1．如图，在?ABC中，

AB?13,AC?5，边BC上的中线AD?6，则BC= PB?4,PC?5，则?BPA的度数

BCAD第1题P 2．如图，设P是等边?ABC内一点，PA?3, 3．已知，一个直角三角形的三边长均为正整数，已知它的一条直角边的长恰为1997，那么另一直角边长为 4．若?ABC的三边a,b,c满足条件a 5．在钝角三角形中，已知某两边a2B第2题C?b2?c2?338?10a?24b?26c，则这个三角形最大边上的高为

?1,b?3，那么第三边c的取值范围是（ ）

C 2?c?22或 10?c?4 D 3?c?10 10C第6题

A 2?c?4 B 22?c? 6．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为 7．如图，Rt?ABC中，?ACB?90且EG?AB交CB于G，求证CF=

?,CD?AB，AF平分?CAB交CD于E，交CB于F，

EFGBGB

AD第7题 8．如图，已知?ABC是等腰直角三角形，边上的点，且DEAB?AC，D是斜边CB的中点，E,F分别是AB,AC

AEF?DF，若BE?12,CF?5，求?DEF的面积

B 9．如图，在?ABC中，AB?AC，⑴若P是BC的中点，连接AP，求证：AB2?AP2?BP?CP；⑵若P是BC边上

AD第8题C任意一点，⑴中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑶若P是BC边延长线上一点， 线段

AB,AP,BP,CP之间又有什么样的关系？请证明你的结论

B 10．如图?BAC并证明之

BE?90?,AB?AC,E,F分别是BC上两点，若?EAF?45?，试判断EF,BE,CFACP第9题图之间的数量关系，

ABF第10题C图1D1H1A1E1DHEAF第13题G1C1F1B1GBDC第12题图C11．四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开。大会会标如图①，它是由四个相同的直角

12．如图，在四边形

13．如图所示的ABCD?A1BC11D1为长方体，AA1矩形，其边长均为10cm，得到诸格子点E,14题图

三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积。

ABCD中，?ABC?30?,?ADC?60?,AD?CD，求证：BD2?AB2?BC2

?50cm,AB?40cm,AD?30cm，把上、下底面都等分成 3?4个小

F,G,H和E1,F1,G1,H1等。假设蚂蚁爬行速度为每秒2 cm，则它从下底面E点沿表面爬行至上底面G1点至少要花费时间多少秒？（精确到1秒）

14如图，∠A=60°, ∠B=∠D=90°。若BC=4，CD=6，求AB的长