2020届四川省广元市高三第三次诊断性考试数学（文）试题（解析版）

(2)取取CD中点O建立空间直角坐标系,再利用空间向量解决点到面的距离问题即可. 【详解】

（1）证明：∵Rt△ABC如图（1），∠C＝90°，D.E分别是AC，AB的中点， 将△ADE沿DE折起到PDE位置（即A点到P点位置）如图（2）使∠PDC＝60°． ∴DE⊥DC，DE⊥PD，DE∥BC，

∵PD∩DC＝D，∴DE⊥平面PCD，∴BC⊥平面PCD， ∵PC?平面PCD，∴BC⊥PC.

（2）解：∵D.E分别是AC，AB的中点，∠PDC＝60°，BC＝2CD＝4， ∴CD＝PD＝PC＝2，

取CD中点O，BE中点M，连结PO，MO，则OP，OD，OM两两垂直， 以O为原点，OD为x轴，OM为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），P（0，0，3），B（﹣1，4，0），E（1，2，0），

uuuruuuruuur1014（，，），（﹣，，），， ?3?3PD?PE?（1，2，?3）PB?设平面PBE的法向量n?（x，y，z），

rvruuu??n?PB??x?4y?3z?0r则?ruuu，取x＝1，得n?（1，1，3）， v??n?PE?x?2y?3z?0∴点D到平面PBE的距离为：

uuurrPD?n25d?． ??rn525

【点睛】

本题主要考查了线面与线线垂直的证明与性质,同时也考查了利用空间向量求解线面距离的方法等.属于中等题型.

x2y23320．已知椭圆C：2?2?1，（a＞b＞0）过点（1，）且离心率为．

ab22第 13 页 共 18 页

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C的右顶点为P，过定点（2，﹣1）的直线l：y＝kx+m与椭圆C相交于异于点P的A，B两点，若直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．

x2【答案】（1）（2）1 ?y2?1；

4【解析】(1)根据题意列出关于a,b,c满足的关系式再求解即可.

(2)联立直线l与椭圆的方程,再设A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，0）,进而表达出直线PA，PB的斜率,再利用韦达定理化简求解即可. 【详解】

3?1??a24b2?1?3?c（1）由题意可得??，解得a2＝4，b2＝1，

?a2222?a?b?c??x2则椭圆的方程为?y2＝1，

4（2）由题意，过定点（2，﹣1）的直线l：y＝kx+m， ∴﹣1＝2k+m， ∴m＝﹣2k﹣1

A（x1，y1），B（x2，y2），P（2，0）

?y?kx?m?联立?x2得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0． 2??y?1?4△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝16（4k2﹣m2+1）＞0．

?8km8k?2k?1?4m2?416k?k?1?∴x1+x2? ，x1x2???22221?4k1?4k1?4k1?4k∵直线PA，PB的斜率分别为k1，k2， ∴k1+k2?y1ykx?mkx2?mkx1?2k?1?2?1??? x1?2x2?2x1?2x2?2x1?2第 14 页 共 18 页

x1?x2?4kx2?2k?111?2k?k??k??2k?x1x2?2?x1?x2??4x2?2x1?2x2?28k?2k?1??421?4k??2k﹣（2k﹣1）＝1

16k?k?1?16k?1?2k???41?4k21?4k2【点睛】

本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,包括联立方程利用韦达定理表示题意再化简求解的方法,属于难题.

21．已知函数f?x??x?1?lnx?,g?x??k?x?1??k?Z?． (1)求函数f?x?的极值；

(2)对?x??1,???,不等式f?x??g?x?都成立,求整数k的最大值； 【答案】(1)极小值为?1.无极大值；(2)3. e2【解析】?1?求出函数的导数,求出函数的单调区间,然后求解函数的极值，

?2?问题转化为x?1?lnx??k?x?1??0在?1,???上恒成立,令

h?x??x?1?lnx??k?x?1?,x?1,再求导, 分类讨论,利用导数求出函数的最值,即可

求出k的值． 【详解】

解：?1?Qf?x??x?1?lnx?,x?0，

?f'?x??2?lnx，

当0?x?11f'x?0x?,,时，函数单调递减当时,f'?x??0，函数单调递增, ??22ee1?1?1?1?f?2??2?1?ln2???2.无极大值．

e?e?e?e??当x?1时,取得极小值,极小值为2e?2??Qx?(1，??),不等式f?x??g?x?都成立,

?x?1?lnx??k?x?1?在?1,???上恒成立,

即x?1?lnx??k?x?1??0在?1,???上恒成立, 令h?x??x?1?lnx??k?x?1?,x?1,

?h'?x??2?k?lnx,

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当2?k?0时,即k?2时,h'?x??0在?1,???上恒成立,

?h?x?在?1,???上单调递增, ?h?x??h?1??2?k?0?2?k?0,

?k?2,此时整数k的最大值为2,

当k?2时,令h'?x??0,解得x?ek?2,

?当1?x?ek?2时,h'?x??0,函数h?x?单调递减,当x?ek?2时,h'?x??0,函数h?x?单调递增,

?h(x)min?hek?2?ek?2?k?1??kek?2?1??ek?2?k,

由?ek?2?k?0, 令??k???ek?2?????k,

??'?k???ek?2?1?0在k??2,???上恒成立, ???k???ek?2?k在?2,???上单调递减,

又??4???e?4?0，??3???e?3?0,

2?存在k0??3,4?使得??k0??0,

故此时整数k的最大值为3, 综上所述整数k的最大值3． 【点睛】

本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及函数的极值,构造法的应用,考查转化思想以及计算能力．

??x?3?t22．已知直线l的参数方程为：?，（t为参数）．在以坐标原点0为极点，x

??y?3?3t轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0． （1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求

11?的值． OAOB【答案】（1）y?3x；（2）

3?1 2【解析】(1)利用参数方程与极坐标的方法化简求解即可.

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