导数在高中数学中的应用 - 2

导数在高中数学中的应用

自从导数加入中学数学教材，我们研究和解决函数等数学问题便有了更加有效、简便的工具。当前中学数学中导数的应用主要表现在4个方面：

1、切线的斜率（导数的几何意义）； 2、函数的单调性； 3、函数的极值； 4、函数的最值。

导数一旦与函数、向量、解析几何等结合起来，问题的设计便更加广阔。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题，在本文中，我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨。

1 在代数中的应用 1.1对导数几何意义的考查

例1（2005年江西卷）已知函数y?xf?(x)的图象如图1所示 （其中f?(x)是函数f(x)的导数），下面4个图象中y?f(x)的 y 1 y 图象大致是（ ）。

y y y 2 2 2 2 1 1 1 0 1 0 0 x x ?2 ?1 x 0 ? 2 ?1 1 2 ?1 1 2 2 1 x ?2 ?1 1 2 ?1 ?1 ?1 ?1 A B C D

分析：这是考察求导法则，函数图象与x轴交点情况和方程实根的关系等基础知识，考察导数的意义。由图象可知f?(1)?0，f?(?1)?0，所以f(x)在?1处有平行与轴的切线，故选C。

?2?1 0 1 ?1x 1.2 判断函数的单调性

函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，其思维方法有：一、利用增（减）函数的定义判断单调性；二、导数法。利用在(a,b)内可导的

(,)恒成立（但f?(x)在(a,b)的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件是f?(x)?0（或f?(x)?0），x?ab任意子区间内都不恒等于0）。方法一化简较为繁琐，比较适合解决抽象函数的单调性问题，而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.，特别是对于具体函数更加适用。

例2.已知f(x)?ex?ax?1。

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a使f(x)在(??,0]上单调递减，在[0,??)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。 分析：本题是关于函数单调性的问题，若用定义来判断函数单调性，在计算方面必遇到一些困难，因此，我们采用导数法解题。函数增区间是f?(x)?0恒成立的区间，函数的减区间是f?(x)?0恒成立的区间（导数值为零的点为有限个）。

解：（1）?f(x)?e?ax?1,?f?(x)?e?a 令f?(x)?0，得e?a，

当a?0时，有f?(x)?0在R上恒成立；当a?0时，有x?lna。

综上情况，当a?0时，f(x)的单调增区间为(??,??)；当a?0时，f(x)的单调增区间为[lna,??)。 （2）?f(x)?e?ax?1,?f?(x)?e?a

x ?f(x)在R上单调递增，?f?(x)?e?a?0（等号只能在有限个点处取得）恒成立，即e?a，x?R恒成立。

xxxxxxx ?x?R时，e?(0,??)，?a?0。

（3）由已知f(x)在(??,0]上单调递减，在区间[0,??)上单调递增可知，f(0)是f(x)的极值。

0 ?f?(0)?e，?a?0?a?1?存在a?1满足条件。

1.3 求函数极值或最值

最值问题是高中数学的一个重点，也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面，要解决这类问题往往需要各种技能，并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系，极值是一个局部性概念，最值是某个区间的整体性概念。

m?0。例3．（2005年山东卷）已知函数x?1是函数f(x)?mx3?3(m?1)x2?nx?1的一个极值点，其中m,n?R，

（1）求m与n的关系表达式； （2）求f(x)的单调区间；

（3）当x?[?1,1]时，函数y?f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。 分析：这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识，第1小题根据极值点处导数为零，可确定m与n的关系；第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到，列出表格，答案一目了然；第3小题根据导数的几何意义结

合一元二次函数的性质即可得到结论。

2解：（1）f?(x)?3mx?6(m?1)x?3m?n

由x?1是f(x)的一个极值点，知f?(1)?0，即3m?6(m?1)?n?0， ?n?3m?6

（2）由（1），得f?(x)?3mx2?6(m?1)x?3m?5?3m(x?1)[x?(1? 由m?0知，1?1?2)] mx g'(x) g(x) 2x，当x变化时，f(x)与f?(x)的变化如下： m2221 (1,??) (??,1?) 1? (1?,1) mmm?0 ?0 ?0 0 0 递减 极小值 递增 极大值 递减 由上可知, f(x)在区间(1,??)和(??,1?22)上递减,在区间(1?,1)上递增. mm22(3)由已知得f?(x)?3m,即mx?2(m?1)?2?0,即当?1?x?1时,有x?2(1?12)x??0.① mm 设g(x)?x?2(1?12)x?,其函数开口向上,由题意①式恒成立,所以mm444??m,又m?0,所以??m?0.即m的取值范围为(?,0). 3331.4 证明不等式

2{g(?1)?0,g(1)?0;即

{1?2?22??0,mm?1?0.解之得,

例4.求证：ex?1?x(x?0)

分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数f(x)?ex?1?x；再对f(x)进行求导，得到f'(x)；然后观察得到当x?0时，

[6]

f'(x)?0，即f(x)在x?0时是增函数；最后可得当x?0时，f(x)?f(0)?0，即ex?1?x.

解：令f(x)?ex?1?x 则

f'(x)?ex?1?0

?f(x)在(0,??)上是增函数.

? 当x?0时，f(x)?f(0)?0

即ex?1?x(x?0) 1.5 证明组合恒等式

23nn?1例6.求证：c1 n?2cn?3cn????????ncn?n?2分析：先观察等式左边，很容易联想到二项式(1?x)n；然后对二项式进行求导，得到

232nn?1；最后令x?1，就可以得到我们要证的等式. n(1?x)n?1?c1n?2cnx?3cnx????????ncnx02233nn证明：(1?x)n?cn?c1nx?cnx?cnx????????cnx

对上面等式两边求导，得

232nn?1 n(1?x)n?1?c1n?2cnx?3cnx????????ncnx23n令x?1，得n?2n?1?c1n?2cn?3cn????????ncn

原题得证.

1.6 解决数列中的问题

例7.求和sn?1?2x?3x2????????nxn(x?0,n?N?)

分析：当x?1时，sn是等差数列1，2，??????的和；当x?1时，sn可看作Tn?x?x2?????xm 的导数，而Tn是等比数列，

x?xn?1[4]

易知Tn?，最后再对Tn求导即可得到sn.

1?x解：当x?1时，sn?1?2????????n?2n1n(n?1) 2x?xn?1当x?1时，由x?x?????x?，得

1?xx?xn?1'(x?x?????x)?()

1?x2n'即sn?1?2x?????nxn?11?(n?1)xn?nxn?1 ?2(1?x)1.7 讨论方程解的个数

例8.a?R，讨论关于x的方程lnx?ax的解的个数.

分析：这道题是属于超越方程的问题,直接求出x有一定的困难,因此可以利用导数的知识，用数形结合的方法来做.先作一

条与曲线相切的直线y?kx，求出k的值；再根据a的取值范围，讨论方程lnx?ax的解的个数.

解：依题意可知，方程lnx?ax的解的个数就是直线y?ax与曲线y?lnx的交点的个数，设直线y?kx与曲线y?lnx相切于点P(t,lnt),则

kt?lnt

?(lnt)'?1t1??k,kt?1?lnt t1?t?e,k?e111由图可知，原方程当a?0或a?时，有一个解；当0?a?时，有两个解；当a?时，无解.

eee2.解决几何问题

2.1解决解析几何中的问题

例10.（2004年湖南卷）已知函数f(x)?lnx,g(x)?12ax?bx,a?0。 2（1） 若b?2，且h(x)?f(x)?g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

（2） 设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于P,Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点

M，N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。

121ax2?2x?1解：（1）b?2时，且h(x)?lnx?ax?2x(x?0)，h?(x)??ax?2??

2xx 因为h(x)存在单调递减区间，所以h?(x)?0在区间(0,??)上有解。

即ax?2x?1?0在区间(x,??)上有解。

22①当a?0时，y?ax?2x?1为开口向上的抛物线，ax?2x?1?0总有一解；

22②当a?0时，y?ax?2x?1为开口向下的抛物线，若ax?2x?1?0有解，则??4?4a?0，且方程

2ax2?2x?1?0至少有一正根，此时?1?a?0。

综上所述，a的取值范围是(?a,0)?(0,??)。

（2）设点P,Q的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)，0?x1?x2，则点M,N的横坐标为x? C1在点M处的切线斜率为k1?x1?x2， 212， ?xx1?x2a(x1?x2)?b。 2 C2在点N处的切线斜率为k2?ax?b? 假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1?k2，即

a(x1?x2)2??b

x1?x222(x2?x1)a2?(x2?x12)?b(x2?x1)?y2?y1?lnx2?lnx1

x1?x222( 从而，

x2?1)xx1 ?ln2? 2xx11?x1