届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 - 图文

对称性知定点在x轴上，令y?0，取x?1时满足上式，故过定点K(1,0)。

法2：本题又解：取极值，PQ与AD平行，易得与X轴相交于F（1,0）。接下来用相似证明PF⊥FQ。

设P（x0,y0）,易得PQ切线方程为x0x?2y0y?2;易得D(0,1?x0) y0设PH?FD

PH?y0;HF?1?x0;DQ?1?x0;DF?1;y0HFDQ?,固?PHF相似于?FDQ，易得?PFQ?900PHFD问题得证。

x2y2练习：（10广州二模文）已知椭圆C1:2?2?1(a?b?0)的右焦点F2与抛物线

abC2:y2?4x的焦点重合，椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P，|PF2|?5.圆C3的3圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4. （1）求椭圆C1的方程；

（2）证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.

（1）解法1：∵抛物线C2:y2?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0). ∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(?1,0)，抛物线C2的准线方程为x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,∵PF2?82y12?4x1?，且y1?0,得y1?6.

33x2y2?22?6?. 在椭圆C1:2?2?1(a?b?0)中， ∴点P的坐标为?,ab?33?2222c?1.2a?|PF1|?|PF2|?(?1)2?(6?0)2?(?1)2?(6?0)2?4

3333525,∴x1?1?，解得x1?.由

333x2y2?1. ∴a?2,b?a?c?3.∴椭圆C1的方程为?4322解法2：∵抛物线C2:y2?4x的焦点坐标为(1,0)，∴点F2的坐标为(1,0).∴ 抛物线C2的准线方程为x??1.设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1, ∵PF2?,∴x1?1?，解得x1?.由y12?4x1?，且y1?0得y1?x2y222∴点P的坐标为(,6).在椭圆C1:2?2?1(a?b?0)中，c?1.

ab335353238326. 3??c?1,?2x2y222?1. 由?a?b?c,解得a?2,b?3.∴椭圆C1的方程为?43?424?2?2?1.9b?9a（2）证法1: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r， ∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4,

22?4.∴r?4?x0∴ |MN|?2r2?x0.

2∴圆C3的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?4?x0.???

2?4x0(x0?0).∴x0?∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,∴ y012y0. 4把x0?12x2y0代入??? 消去x0整理得:(1?)y0?2yy0?(x2?y2?4)?0.????

24方程????对任意实数y0恒成立，

?x

?1?2?0,??x?2,∴??2y?0, 解得?

y?0.??x2?y2?4?0.

??

x2y2?1上, ∵点(2,0)在椭圆C1:?43∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?. 证法2: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r，

2?4x0(x0?0). ∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,∴ y0∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4,

22?4.∴ r?4?x0∴ |MN|?2r2?x0.

2∴ 圆C3的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?4?x0.?????

2?4x0?0,得y0?0.此时圆C3的方程为x2?y2?4. 令x0?0,则y0?x2?y2?4,?x??2,?由?x2y2解得?

?1,?y?0.??3?4∴圆C3:x2?y2?4与椭圆C1的两个交点为?2,0?、??2,0?.

分别把点?2,0?、??2,0?代入方程?????进行检验，可知点?2,0?恒符合方程?????，点??2,0?不恒符合方程?????.

∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?.