届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

（2）是否存在这样直线m，使得点Q恒在直线m上移动？若存在,求出直线m方程,若不存在,请说明理由.

解析：（1）设椭圆方程为mx2?my2?1(m?0,n?0), 将A(?2,0)、B(2,0)、C(1,)代入椭圆E的方程，得

?4m?1,x2y211?解得m?,n?. ∴椭圆E的方程??1 ?94343m?n?1??432（也可设标准方程，知a?2类似计分） （2）可知：将直线l:y?k(x?1)

x2y2代入椭圆E的方程??1并整理．得(3?4k2)x2?8k2x?4(k2?3)?0

43设直线l与椭圆E的交点M(x1,y1),N(x2,y2)，

14(k2?3),x1x2?由根系数的关系，得x1?x2?

3?4k23?4k2直线AM的方程为：y?y1k(x1?1)(x?2),即y?(x?2) x1?2x1?2y2k(x2?1)(x?2)，即y?(x?2) x2?2x2?2由直线AM的方程为：y?由直线AM与直线BN的方程消去y，得

x?2(x1x2?3x1?x2)2[2x1x2?3(x1?x2)?4x2]?

x1?3x2?4(x1?x2)?2x2?4?8(k2?3)24k2??4k2?6?2???4x4??x2??2?3?4k23?4k23?4k2?????4 ??8k24k2?62?4?2x2??x3?4k23?4k2∴直线AM与直线BN的交点在直线x?4上． 故这样的直线存在

模型四：动圆过定点问题

动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例题1.已知椭圆C:x2?y2ab22?1(a?b?0) 的离心率为2, 并且直线y?x?b是抛物线y2?4x2的一条切线。

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点S(0,?)的动直线L交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

y?x?b解：（I）由?消去y得:x2?(2b?4)x?b2?2?y?4x?0

13因直线y?x?b与抛物线y2?4x相切???(2b?4)2?4b2?0?b?1

x2c22a2?b21222Qe??,a?b?c,??,?a?2?y?1.（II）当L，故所求椭圆方程为2a2a22与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2?(y?)2?()2

1343当L与x轴平行时，以AB

1242?2x?(y?)?()?x?0 ?为直径的圆的方程：x?y?1,由?33解得??y?1?x2?y2?1?22即两圆相切于点（0，1）

因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下。

当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1） 若直线L不垂直于x轴，可设直线L：y?kx?

1?y?kx??3由?消去y得:(18k2?9)x2?12kx?16?0 ?2?x?y2?1??212k?x?x?uuruur12?18k2?9 又因为TA?(x1,y1?1),TB?(x2,y2?1), 记点A(x1,y1)、B(x,y),则??22?xx??1612?18k2?9?13uuruur44所以TA?TB?x1x2?(y1?1)(y2?1)?x1x2?(kx1?)(kx2?)

33416?16412k16?(1?k2)x1x2?k(x1?x2)??(1?k2)??k???0 22393918k?918k?9∴TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.

◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。

x2y22例题2：如图，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，A1,A2分别是椭圆C的

ab2左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点。点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足

112???2。 A1DA2DFDyQlPA1OFA2Dx（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；

（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l:y?kx?m 与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点

Q。求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定

点的坐标。

解：（1）A1(?a,0),A2(a,0),F(c,0)，设D(x,0)，由

1A?1?2有

1?1?2，又1DA2Dx?ax?aFD?1，?x?c?1,?x?c?1，于是

11c?1?a?c?1?a?2

?c?1?(c?1?a)(c?1?a)，又Qca?22?a?2c， ?c?1?(c?1?2c)(c?1?2c)

2c?0，又c?0，?c?1,?a?2,b?1，椭圆C:x2?c?2?y2?1，且D(2,0)。

?y?kx?（2）方法1：QQ(2,2k?m)，设P(x?m0,y0)，由?x2?x2?(kx?m)2???2?y2?121 ?x2?2(kx?m)2?2?(2k2?1)x2?4kmx?2m2?2?0，

由于??16k2m2?4(2k2?1)(2m2?2)?0?2k2?m2?1?0?m2?2k2?1（*），

而由韦达定理：2x?4km?2km由（*）?2km2k0?2k2?1?x0?2k2?1?m2??m， ?y?kxm??2k2m?m?1m，?P(?2k100?m,m)，

设以线段PQ为直径的圆上任意一点M(x,y)，由uMPuur?uMQuuur?0有

(x?2km)(x?2)?(y?1m)(y?(2k?m))?0?x2?y2?(2k12km?2)x?(2k?m?m)y?(1?m)?0由