届高三第一轮复习专题训练之圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 - 图文

?直线DE过定点(5,?2).（定点（1，2）不满足题意）

练习7：已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C:y2?4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛

物线

C于另一点Q，如图.

uuuuruuur（I）证明: OM?OP为定值;

（II）若△POM的面积为，求向量OM与OP的角；

（Ⅲ）证明直线PQ恒过一个定点.

2y12y2解：（I）设点M(,y1),P(,y2),?P、M、A三点共线，

4452夹

?kAM?kDM,即y1y12?14?y1?y2, 22y1y2?44即y11?,?y1y2?4

y12?4y1?y22y12y2?OM?OP???y1y2?5.

44(II)设∠POM=α，则|OM|?|OP|?cos??5.

?S?ROM?5,?|OM|?|OP|?sin??5.由此可得tanα=1. 2又??(0,?),???45?,故向量OM与OP的夹角为45?.

2y3(Ⅲ)设点Q(,y3),?M、B、Q三点共线，?kBQ?kQM,

4y1?y3y3?11,即?,2222y3y1y3y3?4y1?y3?1? 4442?(y3?1)(y1?y3)?y3?4,即y1y3?y1?y3?4?0.LLLL11分即?y3?y1y2?4,即y1?444,??y3??y3?4?0, y2y2y2即4(y2?y3)?y2y3?4?0.(*)

?kPQ?y2?y34?, 22y2?y3y2y3?442y24?直线PQ的方程是y?y2?(x?)

y2?y342,即y(y2?y3)?y2y3?4x. 即(y?y2)(y2?y3)?4x?y2由（*）式，?y2y3?4(y2?y3)?4,代入上式，得(y?4)(y2?y3)?4(x?1). 由此可知直线PQ过定点E（1，－4）.

模型二：切点弦恒过定点

例题：有如下结论：“圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为

x2y2x0y?y0y?r”，类比也有结论：“椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方

ab2x0xy0yx2程为2?2?1”，过椭圆C：?y2?1的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条

4ab切线，切点为 A、B.

（1）求证：直线AB恒过一定点；

（2）当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积。 【解】（1）设M(xx43,t)(t?R),A(x1,y1),B(x2,y2),则MA的方程为1?y1y?1 3433x1?ty1?1 ① 同理可得x2?ty2?1② 33∵点M在MA上∴

由①②知AB的方程为

3x?ty?1,即x?3(1?ty) 3易知右焦点F（3,0）满足③式，故AB恒过椭圆C的右焦点F（3,0）

x2（2）把AB的方程x?3(1?y)代入?y2?1,化简得7y?6y?1?0

443|36?281623? 又M到AB的距离d?3?∴|AB|?1?3? 7731?3|∴△ABM的面积S??|AB|?d?12163 21◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？

参考：PPT圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频

拓展：相交弦的蝴蝶特征——蝴蝶定理，资料

练习1：（2013年广东省数学（理）卷）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点

F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线2(Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

0?c?2232结合c?0,2【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x2?4cy,由解得c?1.所以抛物线C的方程为x2?4y.

?(Ⅱ) 抛物线C的方程为x2?4y,即y?x2,求导得y??x

x12x22设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?,y2?),

441412则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2,

x1x12x1所以切线PA：y?y1??x?x1?,即y?x??y1,即x1x?2y?2y1?0

2221212同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0

因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1

?x0x?2y?2y0?0联立方程?2,消去x整理得y2??2y0?x02?y?y02?0

?x?4y由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x02?2y0,y1y2?y02 所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y02?x02?2y0?1