安徽省安庆市枞阳县白云中学2015-2016学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

【解答】解：∵故选D．

在x=0处不可导．

12．已知抛物线C的方程为x2=y，过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣﹣2

）∪（2

，+∞）

D．（﹣∞，﹣

）∪（

，+∞） C．（﹣∞，

）∪（，+∞）

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】设过A的直线方程，与抛物线方程联立，根据判别式求得k，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点，则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点，进而求得t的范围．

【解答】解：如图，设过A的直线方程为y=kx﹣1，与抛物线方程联立得x2﹣kx+=0，

△=k2﹣2=0，k=±2

，求得过A的抛物线的切线与y=3的交点为（±

，3），

则当过点A（0，﹣1）和点B（t，3）的直线与抛物线C没有公共点， 实数t的取值范围是（﹣∞，﹣故选D．

）∪（

，+∞），

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．函数f（x）=x3+x2单调递减区间是 [﹣，0] ． 【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】根据f（x）的导函数建立不等关系，可得f'（0）≤0，建立不等量关系，求出单调递减区间即可． 【解答】解：∵f′（x）=3x2+2x，

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∴3x2+2x≤0， 解得﹣≤x≤0，

∴函数f（x）=x3+x2单调递减区间是[﹣，0]， 故答案为：[﹣，0]．

14．若复数z=（a2﹣2a）+（a2﹣a﹣2）i为纯虚数，则实数a的值等于 0 ． 【考点】复数的基本概念． 【分析】由纯虚数的定义可知

，解之可得．

【解答】解：由纯虚数的定义可知由方程可解得a=0，或a=2， 但a=2时a2﹣a﹣2=0，矛盾， 故答案为：0

，

15．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+m在区间[﹣2，2]上的最大值是20，则实数m的值等于 ﹣2 ．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】先将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，再根据条件求出m的值，最小值即可求得． 【解答】解：∵f（x）=﹣x3+3x2+9x+m（m为常数） ∴f′（x）=﹣3x2+6x+9

令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，解得x=﹣1或3（舍去） 当﹣2＜x＜﹣1时，f'（x）＜0， 当﹣1＜x＜2时，f'（x）＞0

∴当x=﹣1时取最小值，而f（2）=22+m＞f（﹣2）=2+m， 即最大值为22+m=20，∴m=﹣2， 故答案为：﹣2．

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16．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题： sin230°+sin290°+sin2150°= sin25°+sin265°+sin2125°=

sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）= ． 【考点】归纳推理．

【分析】已知条件中：sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=．可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

【解答】解：由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=，sin25°+sin265°+sin2125°=． 归纳推理的一般性的命题为：

sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=． 证明如下： 左边=

+

+

=﹣ [cos（2α﹣120°）+cos2α+cos（2α+120°）] ==右边． ∴结论正确．

故答案为：sin2（α﹣60°）+sin2α+sin2（α+60°）=．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与直线x+y+2=0垂直，求函数y=x2+bx+c的最值．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，求出b，c的值，利用二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵y=x2+bx+c， ∴函数的导数为f′（x）=2x+b，

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∴抛物线在点（1，2）处的切线斜率k=2+b， ∵切线与直线x+y+2=0垂直， ∴2+b=1，即b=﹣1，

∵点（1，2）也在抛物线上， ∴1+b+c=2，得c=2．

即函数y=x2+bx+c=x2﹣x+2=（x﹣）2+， ∴当x=时，函数取得最小值，函数无最大值．

18．求函数y=x4﹣2x2+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】利用导数研究函数的单调性、极值、最值并列出表格即可得出． 【解答】解：先求导数，得y′=4x3﹣4x，

令y′＞0，即4x3﹣4x＞0，解得﹣1＜x＜0或x＞1； 令y′＜0，即4x3﹣4x＜0，解得x＜﹣1或0＜x＜1． 如下表： X ﹣2 y′ y （﹣2，﹣1） ﹣ ↘ ﹣1 0 4 （﹣1，0） + ↗ 0 （0，1）1 2 （1，2）0 5 ﹣ ↘ 0 4 + ↗ 13 13 从上表知，当x=±2时，函数有最大值13，当x=±1时，函数有最小值4．

19．求曲线y=x2过点P（1，﹣1）的切线方程． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】设出切点Q（a，a2），求出导数，求得切线的斜率，求出切线的方程，代入点P，解得a，即可得到所求切线的方程．

【解答】解：设Q（a，a2）点是过P点的切线与y=x2的切点， y=x2过的导数为y′=2x， 即有切线斜率2a，

切线方程为：y﹣a2=2a（x﹣a）

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