圆锥曲线必杀技

①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题 ②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题 ③结合双曲线的定义，利用图形的几何特征求最值 ④利用基本不等式求最值

还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多种方法的综合运用．

结合本例的求解，试问对于一般的等轴双曲线x?y?a，是否有类似的结论，回答是肯定的，即

结论一：若A，B是等轴双曲线x?y?a的右支上的不同两点，O是坐标原点，则OA?OB的最小值为a．

对于上述结论，我们可作进一步地推广，得到更一般的结论： 结论二：

2222222

实战演练

x2y2?＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x?5)2?y2?4和 1．P是双曲线

916(x?5)2?y2?1上的点，则PM?PN的最大值为 ．

5y2x2b?0)，离心率e?2．已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0，，顶点到渐近2ab线的距离为25． 5(1)求双曲线C的方程； (2)如图8-2-1，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP??PB，

??[，2]，求?AOB面积的取值范围．

.w.k.s.5.13

图8-2-1

x2y23．已知双曲线C1：2?2?1(a?0)，抛物线C2的顶点

a2a在原点O，又C2的焦点是C1的左焦点F1．

(1)求证：C1与C2总有两个不同的交点；

(2)是否存在过C1的焦点F1的C2的弦AB，使?AOB的面积有最大值或最小值？若有，求出AB所在直线方程与最值；若没有，请说明理由．

参考答案：

x2y2?＝1的右支上一点，F1(－5，0)、F2(5，1．9 . 提示：方法一： P是双曲线

916220)是两个焦点，则|PF1|?|PF2|=6，又M、N分别是圆(x?5)?y?4和(x?5)2?y2?1上的点，∴PM?PN≥|PF1|?2?(|PF2|?1)=9．

方法二：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9．

y28?x2?1. (2)[2，] . 提示：方法一： 2．(1) 43

方法二：

3．(1)证略．

2(2) ?AOB的面积有最小值6a，AB所在直线的方程为x??3a；最大值不存在．

提示：

典型考法2 与双曲线有关的定点与定值问题

典型例题

已知双曲线x?y?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

(1)若动点M满足F，求点M的轨迹方1M?F1A?F1B?FO1（其中O为坐标原点）程；

(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

220)，F2(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．设解析 (1)方法一：由条件知F1(?2，则FM(x，y)，M?x(?2y，)，F1A?(x1?2，y1)，F1B?(x2?2，y2)，FO?(2，0)，11?x?2?x1?x2?6?x1?x2?x?4，由FM得?，即?，于是AB的中点?F1A?F1B?FO11y?y?yy?y?y?12?12?x?4y?，?22??坐标为?yy?y2y2．当AB不与x轴垂直时，1，即??x1?x2x?4?2x?82y1?y2?y2222(x1?x)2．又因为A，B两点在双曲线上，所以x1?y1?2，x2?y2?2，x?8两式相减得(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，即(x1?x2)(x?4)?(y1?y2)y．