圆锥曲线必杀技

本题可推广为：

对于本题的(3)还可推广为：

注：以上的证明均可仿照本题的求解方法，读者可自行完成，这里不再赘述．

实战演练

x2y2xy??1，直线l：??1．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，1．已知椭圆

2416128又点Q在OP上且满足OQ·OP?OR，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

2

2．已知i?(1,0),c?(0,2),若过定点A(0,2)、以i??c(??R)为法向量的直线l1与过点B0,?2以c??i为法向量的直线l2相交于动点P．

(1)求直线l1和l2的方程；

(2)求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E,F,使得PE?PF恒为定值；

(3)在（2）的条件下，若M,N是l:x?22上的两个动点，且EM?FN?0，试问当

??MN取最小值时，向量EM?FN与EF是否平行，并说明理由．

x2y23．已知椭圆C：2?2?1 (a?b?0)的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为

ab2?3和2?3．

(1)求椭圆的方程；

(2)设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

x2y2(3)如图8-1-2，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆2?2?1

ab(a?b?0)相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

图8-1-2

参考答案：

22??x?1?y?1??1．

5253?1（x2?y2?0），其轨迹是以(1，1)为中心，

长、短半轴分别为点．

1015和且长轴与x轴平行的椭圆，且去掉坐标原23 图8-1-3

22xRyRxy??P?P （※） 设提示： （如图8-1-3）由已知得

2416128

Q(x，y)，

OPOROQ|OR|2，利用已知条件可得OP????OQ，便有2|OP||OR||OQ||OQ||OR|2|OR|2|OR||OR|，，同理，，xP??xy??yx??xy??y，将它们代入PRR22|OQ||OQ||OQ||OQ|x2y2xy???，显然x与y均不为零． （※），得

2416128

2．(1) l1：x?2?(y?2)?0；l2：?x?2(y?2)?0． (2)k1k2??1y?2y?21|PE|?|PF|?4．；提示：设P(x,y)，由k1k2????，

xx22x2y2得??1，定点E、F为该椭圆的两个焦点．

42 (3) EM?FN与EF平行.

3x2)3．(1)?y2?1. (2)(?2,?42 (3)

(3,2). 211??1. 提示：由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离a2b2相等． 当P在y轴上时，显然；当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P(x1,kx1)，

?y?kx211k11?2则直线RQ的斜率为?，Q(x2,?x2)由?x得2?2?2，同理y2x1abkk??1?2b2?a111，在??x22a2k2b2Rt△OPQ

中，有|PQ|2?|OP|2?|OQ|2，所以，

x22x112)?[x1?(2kx1)]?[x22?(2)2]，化简可得??1．综上，当d=1kka2b211时a，b满足条件2?2?1 ．

ab (x1?x2)2?(kx1?

典型考法4 椭圆与圆

典型例题

?1)，F2(0，1)为焦点的椭圆C过点P(以F1(0，(1)求椭圆C的方程；

(2)过点S(?，0)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的

坐标；若不存在，，请说明理由．

2，1)． 213解析 (1)方法一：

方法二：

(2)方法一：