圆锥曲线必杀技

(2)不存在，同(1)的方法．

3．(1) (??，?1]。

?21?k22??1?k (2)s?k????2k?11?k2??k?k21k?(0，]2 提示：若P为双曲线C上第一象限内的

12k?(，)22212点，则直线l的斜率k?(0，)，由计算可得，当k?(0,]时，s?k??1?k2；当2221?k122k?1k?(，)时，s?k??1?k2，∴ s表示为直线l的斜率k的函数是222k?k?21?k22??1?ks?k????2k?11?k2??k?k2

1k?(0，]2．

12k?(，)22典型考法4 双曲线与圆

典型例题

x2y2?1(a?0)的实轴长与焦距的比为1：3． 已知双曲线C：2?a2(1)求双曲线C的方程；

22y0)(x0y0?0)处的切线，l与双曲线C(2)设直线l是圆O：x?y?2上动点P(x0，交于不同的两点A，B，证明?AOB的大小为定值．

?c2?a2?2?解析 (1)由题意，得?c，解得a?1，c?3，∴所求双曲线C的方程为

??3?a

y2x??1．

22(2)方法一：点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上，则圆在点P?x0,y0?处的切线

22方程为

x0x?y0y?2，由

?2y2?1?x?2??xx?yy?20?0及

22x0?y0?2得

?3x202?4?x2?4x0x?8?2x0?0，∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且

222220?x0?2，∴3x0?4?0，且??16x0?43x0?48?2x0?0，设A、B两点的坐

????标分别为

?x1,y1?，

?x2,y2?24x08?2x0，则x1?x2?2，x1x2?2，∵

3x0?43x0?4co?sAOB?OA?OBOA?OB，且OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?12?x0x1??2?x0x2? 2?y02218?2x02x0?82???x1x2?4?2xx?x?xxx???0．∴ ?AOB的??012012?2?222?x03x0?43x0?4大小为90．

．．．．．．．．m ?方法二：点P?x0,y0??x0y0?0?在圆x?y?2上，圆在点P?x0,y0?处的切线方程

22?2y2?1?x?22为x0x?y0y?2．由?及x0?y0?2得 2?xx?yy?20?0?3x?3x202?4?x2?4x0x?8?2x0?0 ① 2?4?y2?8y0x?8?2x0?0 ②

202∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，∴3x0?4?0，设A、B两点的坐标分别

228?2x02x0?8为?x1,y1?,?x2,y2?，则x1x2?2，∴OA?OB?x,y1y2?21x2?y1y2?0，

3x0?43x0?42222?∴ ?AOB的大小为90．（∵x0?y0?2且x0y0?0，∴0?x0?2,0?y0?2，从而当

23x0?4?0时，方程①和方程②的判别式均大于零）．

必杀技： 综合运用基础知识与基本方法

本例主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程、向量等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．将本题作进一步的探究，可得如下结论：

实战演练

x2y2??1 的左焦点F 引圆x2?y2?9的切线，切点为T，延长FT1．从双曲线

916交双曲线右支于点P．若M为线段FP的中点．O为坐标原点，则|MO|?|MT|? ．

3x2y2x，左焦点为F，过A(a，2．已知双曲线2?2?1的渐近线方程为y??0)，3abB(0，?b)的直线为l，原点到直线l的距离是(1)求双曲线的方程；

3． 2(2)已知直线y?x?m交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数m，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

0)，且和定圆C：(x?2)?y?4外切． 3．若动圆P恒过定点B(2，(1)求动圆圆心P的轨迹E的方程；

22

(2)若过点B的直线l与曲线E交于M、试判断以MN为直径的圆与直线m：N两点，

x?1是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由． 2

参考答案：

1． 1. 提示：如图8-2-3，

注：本题可进一步推广，具体为：

结论一：

结论二：

x2?y2?1. 2．(1) 3 (2) m?3?2 . 提示：把y?x?m代入x?3y?3中消去y，整理得

222x2?6mx?3m2?3?0．设C(x1,y1)，D(x2,y2)则x1?x2??3m，

3m2?3x1x2?0)，因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以，F(?2，2