圆锥曲线必杀技

(?5b,0),(5b,0)．

3．(1)

655. (2) P在以O为圆心、为半径的定圆上．提示：由三角形面积公

5362222式，得OP?AB?OA?OB，即OP?2?OA?2OB??2即BO?A．O22??11??1，利用(1)即得OP2?36． OP???22??5?OAOB???2

典型考法3 双曲线与直线

典型例题

已知以原点O为中心，F(5,0)为右焦点的双曲线C的实轴与焦距之比为2：5．

(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(2)如图8-2-2，已知过点M(x1,y1)的直线l1：x1x?4y1y?4与过点N(x2,y2)（其中x2?x1）的直线l2：x2x?4y2y?4的交点E在双曲线C上，直线MN与双曲线的两条渐近线分别交于G、H两点，求OGOH的值．

图8-2-2

x2y2a2b?0)，解析 (1)设C的标准方程是2?2?1(a?0，则由题意得c?5，?，

cab5x2?y2?1，C的渐近线方程为因此a?2，b?c?a?1，所以C的标准方程为4221y??x,即x?2y?0和x?2y?0.

2 (2)方法一：如图8-2-5，由题意，点E(xE,yE)在直线l1：x1x?4y1y?4和l2：

x2x?4y2y?4上，因此有x1xE?4y1yE?4,x2xE?4y2yE?4，故点M、N均在直线

xEx?4yEy?4上，因此直线MN的方程为xEx?4yEy?4，设G、H分别是直线MN

与渐近线x?2y?0及x?2y?0的交点，由方程组??xEx?4yEy?4及

?x?2y?044??x?x??Gx?2y?Hx?2y?xEx?4yEy?4??EEEE，解得?，?，故 ?2?2?x?2y?0?y??y?GH?xE?2yE?xE?2yE??OG?OH?124422?2???， 2xE?2yExE?2yExE?2yExE?2yExE?4yEx222?4yE?4，从而?y2?1上，所以，有xE因为点E在双曲线

4OG?OH?12?3． 22xE?4yE方法二：设E(xE,yE)，由方程组得??x1x?4y1y?44(y2?y1)，解得xE?，

x1y2?x2y1?x2x?4y2y?4yE?x1?x2x，故直线MN的方程为y?y1??E(x?x1)，注意到

x1y2?x2y14yEx1xE?4y1yE?4，因此，直线MN的方程为xEx?4yEy?4．下同方法一．

必杀技： 综合运用基础知识与基本方法

本题主要考查双曲线的标准方程、渐近线方程等基础知识；并以对这些基础知识的考查为依托，考查了对解析几何的基本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、探究意识与

x2?y2?1相切，而直创新意识． 如果进一步探究，易得，本题中的直线l1、l2与椭圆4x2?y2?1的切线，于是，我们提出如下问题： 线MN是双曲线4

x2y2答案：OG?OH?a?b，直线MN是双曲线2?2?1的切线，且还可求得

ab22?GOH的面积为ab．证明过程留给读者自行完成，这里不再赘述．

实战演练

x2y2??1交于不同的两点A、1．设直线l：y?kx?m（其中k,m为整数）与椭圆

1612x2y2?1交于不同的两点C、D，问是否存在直线l，使得AC?BD?0B，与双曲线?412成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

x2y222．已知双曲线2?2?1右支上任意一点E作抛物线y??2px(p?0)的两切线，

ab两切点M，N所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G，H两点，试问：

(1)是否存在正实数p，使得OG?OH为定值？ (2)是否存在正实数p，使得

11?为定值？ 22|OG||OH|x2?y2?1． 3．已知双曲线C：21)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，(1)已知点M的坐标为(0，

记??MP?MQ．求?的取值范围；

?1)、(0，1)，P为双曲线C上?1)、(2，(2)已知点D、E、M的坐标分别为(?2，s为△DEM截直线l所得线段的长．在第一象限内的点．记l为经过原点与点P的直线，试

将s表示为直线l的斜率k的函数．

参考答案：

1．存在直线

y?kx?m，其中

?k??1?k?0?k?1，，，????m?0?m?0?m?0?k?0共9条． ，?m?3??k?0?k?0，??m??3??m??2?k?0?k?0?k?0?k?0，，，，????m??1m?0m?1????m?2提示：方法一：将直线l的方程分别与椭圆、双曲线的方程联立方程组，并利用韦达定理及AC?BD?0可得

分别讨论k?0及m?0的对应情形，即可得所求结果．

y1)，B(x2，y4)，利用点差法可得y2)，C(x3，y3)，D(x4，方法二：设A(x1，4再由AC?BD?0可得x1?x2?x3?x4，x1?x2??k(y1?y2)，x3?x4?k(y3?y4)，

34y1?y2?y3?y4，因此，便有?k(y1?y)2?y?1y，2所以k?0或

3x1?x2?y1?y2?0．若x1?x2?0，则点A与B关于原点对称，此时直线AB过原点，

有m?0．因此，有k?0及m?0．以下同方法一．

注：我们可将本题推广为： 结论1：

结论2：

以上结论的证明，读者可自行完成．

2．(1)不存在。提示：