2020版高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题第2课时定点与定值问题

第2课时 定点与定值问题

题型一 定点问题

x22

＋y＝1(a>0)的上顶点为B(0，1)，左、右焦点分别为a2→

→

例1 (2018·湖州模拟)已知椭圆

F1，F2，BF2的延长线交椭圆于点M，BM＝4F2M.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线l交椭圆于P，Q两点，且kBP＋kBQ＝m(m为非零常数)，求证：直线l过定点. →→

(1)解 方法一 设M(x0，y0)，F2(c，0)，则由BM＝4F2M，

??x0＝4x0－4c，得?

?y0－1＝4y0，?

??

即?1

y0＝－，??3

4x0＝c，

3

16c21222

代入椭圆方程得＋＝1，又a＝c＋1，所以a＝2，

9a29x22

所以椭圆的标准方程为＋y＝1.

2

方法二 如图，连接BF1，MF1，设|BF1|＝|BF2|＝3n，

则|F2M|＝n，又|MF1|＋|MF2|＝|BF1|＋|BF2|＝6n， 所以|MF1|＝5n，由|BF1|∶|BM|∶|MF1|＝3∶4∶5， 得∠F1BM＝90°，则∠OBF2＝45°，a＝2b＝2， x22

所以椭圆的标准方程为＋y＝1.

2

(2)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，x1＝x2≠0，y1＝－y2，

2

2

y1－1y2－12

所以kBP＋kBQ＝＋＝－＝m，

x1x2x1

2

m

2m

x1＝－，即直线l：x＝－. 当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋t，

把y＝kx＋t代入椭圆的方程并整理得(1＋2k)x＋4ktx＋2t－2＝0， Δ＝16kt－4(1＋2k)(2t－2)＝8(2k＋1－t)>0， －4kt

x1＋x2＝，??1＋2k2所以?2t2－2

x1x2＝，??1＋2k2

y1－1y2－1

＋ x1x2

22

2

2

2

22

2

2

kBP＋kBQ＝＝

kx1＋t－1kx2＋t－1＋ x1x22kx1x2＋?t－1??x1＋x2?

＝

x1x2

2t2－2－4kt2k·＋?t－1?·2

1＋2k21＋2k＝＝m， 2

2t－2

21＋2k2k

整理得2k＝m(t＋1)，t＝－1，

m

2k?2?所以直线l的方程为y＝kx＋－1＝k?x＋?－1， m?m?

?2?过定点?－，－1?.

?m?

?2?综上，直线l过定点?－，－1?.

?m?

思维升华圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. x2y2

跟踪训练1 (2018·浙江重点中学调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，

a2b2

F2，|F1F2|＝25，点P在椭圆上，tan∠PF2F1＝2且△PF1F2的面积为4.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若点M是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA1，MA2分别与直线x＝

35

交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标. 2

25

解 (1)由tan∠PF2F1＝2，得sin∠PF2F1＝，

5

5. 5

cos∠PF2F1＝

由题意得

125?×25×|PF2|×＝4，?25???|PF1|2＝|PF2|2＋?25?－2×|PF|×22

2

5×

5

，5

??|PF1|＝4，解得?

?|PF2|＝2，?

所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝4＋2＝6，a＝3， 结合2c＝25，c＝5，得b＝4， x2y2

故椭圆的标准方程为＋＝1.

94

(2)由(1)得A1(－3，0)，A2(3，0)，设M(x0，y0)，

y035y0?35???35

则直线MA1的方程为y＝(x＋3)，与直线x＝的交点为E?，?＋3??，

x0＋32?2x0＋3?2??

2

y035y0?35???35

直线MA2的方程为y＝(x－3)，与直线x＝的交点为F?，?－3??. x0－32?2x0－3?2??设以EF为直径的圆交x轴于点Q(m，0)，则QE⊥QF， 从而kQE·kQF＝－1，

y0?35y0?35??

?＋3??－3?x0＋3?2?x0－3?2?

即·＝－1，

3535

－m－m229y204?35?2即＝－?－m?， x20－9?2?x20y2035又＋＝1，得m＝±1， 942

故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为?题型二 定值问题

2

?35??35?

＋1，0?，?－1，0?. ?2??2?

例2 (2018·北京)已知抛物线C：y＝2px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围；

11→→→→

(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值.

λμ(1)解 因为抛物线y＝2px过点(1，2)， 所以2p＝4，即p＝2. 故抛物线C的方程为y＝4x.

由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，

??y2＝4x，由???y＝kx＋1，

22