高考立体几何文科大题和答案解析

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z S M C D A B x y

（Ⅰ）设M(0,a,b)(a?0,b?0)，则

BA?(0,?2,0),BM?(?2,a?2,b),SM?(0,a,b?2)，

SC?(0,2,?2)，由题得 1?cos?BA,BM???2，即 ??SM//SC??2(a?2)1???22?2?(a?2)?b?22解之个方程组得a?1,b?1即M(0,1,1) ???2a?2(b?2)所以M是侧棱SC的中点。

法2：设SM??MC，则M(0,2?22?2,),MB?(2,,) 1??1??1??1??又AB?(0,2,0),?MB,AB??60o 故MB?AB?|MB|?|AB|cos60o，即

42222?2?()?()，解得??1， 1??1??1??所以M是侧棱SC的中点。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得M(0,1,1),MA?(2,?1,?1)，又AS?(?2,0,2)，AB?(0,2,0)，

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设n1?(x1,y1,z1),n2?(x2,y2,z2)分别是平面SAM、MAB的法向量，则

???2x2?y2?z2?0?n1?MA?0??n2?MA?0?2x1?y1?z1?0?且，即且 ????????2y2?0??2x1?2z1?0?n1?AS?0??n1?AB?0分别令x1?x2?2得z1?1,y1?1,y2?0,z2?2，即

n1?(2,1,1),n2?(2,0,2)，

∴cos?n1,n2??2?0?22?6?6 3 二面角S?AM?B的大小??arccos6。 31B1B，从而EFDA。 22、解法一：（Ⅰ）取BC中点F，连接EF，则EF

连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DE⊥平面BCC1，故AF⊥平面BCC1，从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

（Ⅱ）作AG⊥BD，垂足为G，连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD，故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知，∠AGC=60.

0.

设AC=2，则AG=2。又AB=2，BC=22，故AF=2。 3由AB?AD?AG?BD得2AD=2.AD2?22，解得AD=2。3

故AD=AF。又AD⊥AF，所以四边形ADEF为正方形。

因为BC⊥AF，BC⊥AD，AF∩AD=A，故BC⊥平面DEF，因此平面BCD⊥平面DEF。 连接AE、DF，设AE∩DF=H，则EH⊥DF，EH⊥平面BCD。

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连接CH，则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角。

. 因ADEF为正方形，AD=2，故EH=1，又EC=

0

1B1C=2， 20

所以∠ECH=30，即B1C与平面BCD所成的角为30. 解法二：

（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。

设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则B1（1，0，2c）,E（

1b，，c）. 22?

???1b于是DE=（，，0），BC=（-1，b,0）.由DE⊥平面BCC1知DE⊥BC， DE?BC=0，求得

22b=1，所以 AB=AC。

（Ⅱ）设平面BCD的法向量AN?(x,y,z),则AN?BC?0,AN?BD?0. 又BC=（-1，1， 0），

??????BD=（-1，0，c）,故????x?y?0

??x?cz?0 1?1令x=1, 则y=1, z=,AN=(1,1, ).

cc又平面ABD的法向量AC=（0，1，0）

AC=60°， 由二面角A?BD?C为60°知，AN，故 AN?AC?AN?AC?cos60°，求得c?1 2

（1，1，2）于是 AN? ， CB1?(1 ，?1，2） 专业知识分享

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cosAN，CB1?AN?CB1AN?CB1?1， 2CB1?60° AN，所以B1C与平面BCD所成的角为30°

3、（Ⅰ）证明：连接DP,CQ， 在?ABE中，P,Q分别是AE,AB的中点，所以PQ//又DC//1BE， ??21BE，所以PQ//DC，又PQ?平面ACD ，DC?平面ACD， 所以PQ//平面ACD

????2（Ⅱ）在?ABC中，AC?BC?2,AQ?BQ，所以CQ?AB 而DC?平面ABC，EB//DC，所以EB?平面ABC

而EB?平面ABE， 所以平面ABE?平面ABC， 所以CQ?平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP//CQ

所以DP?平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP， 所以直线AD与平面ABE所成角是?DAP 在Rt?APD中，AD?所以sin?DAP?AC2?DC2?22?12?5 ，DP?CQ?2sin?CAQ?1

DP15 ??AD55

4、【解法1】（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD?底面ABCD， ∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC?平面PDB.

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，

由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE//PD，OE?1PD，又∵PD?底面ABCD， 2 ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

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