椭圆与双曲线常见题型归纳

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由①得0?11?，代入②，整理得 9k251?36?9， ?5(1??)251???5 51。 5解之得

当直线PQ的斜率不存在，即x?0时，易知??5或??总之实数l的取值范围是?,5?。

?5??1?方法总结：通过比较本题的第二步的两种解法，可知第一种解法，比较简单，第二种方法是通性通法，但计算量较大，纵观高考中的解析几何题，若放在后两题，很多情况下能用通性通法解，但计算量较大，计算繁琐，考生必须有较强的意志力和极强的计算能力；不用通性通法，要求考生必须深入思考，有较强的思维能力，在命题人设计的框架中，找出破解的蛛丝马迹，通过自己的思维将问题解决。

例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA??1AF，求?1??2MB??2BF，的值． 分析：

1225x的焦点，离心率为． 45

（07福建理科）如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QP?QF?FP?FQ

（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知MA??1AF,AF??2BF，求?1??2的值。

小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算

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能力和综合解题能力.满分14分. 解法一：

，y)，由QPQF?FPFQ得： （Ⅰ）设点P(x，y)，则Q(?1(x?1，0)(2，?y)?(x?1，y)(?2，y)，化简得C:y2?4x.

（Ⅱ）设直线AB的方程为：

x?my?1(m?0).

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M??1，???2??， m??y2?4x，联立方程组?，消去x得：

?x?my?1，y2?4my?4?0，??(?4m)2?12?0，故

?y1?y2?4m， ?yy??4．?12由MA??1AF，MB??2BF得：

y1?22???1y1，y2????2y2，整理得： mm?1??1?22，?2??1?， my1my2第 18 页 共 61 页

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??1??2??2?2?11???? m?y1y2???2?2y1?y2

my1y224m

m?4??2??0

解法二：

（Ⅰ）由QPQF?FPFQ得：FQ(PQ?PF)?0，

?(PQ?PF)(PQ?PF)?0，

?PQ?PF?0，

?PQ?PF

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y2?4x. （Ⅱ）由已知MA??1AF，MB??2BF，得?122?2?0.

则：

MAMB???1AF?2BF.????①

过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，

则有：

MAMB?AA1BB1?AFBFAFBF.????②

由①②得：??1AF?2BF?，即?1??2?0.

x2y2?1(a?0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且AF2?F1F2?0，练习：设椭圆C:2?a2坐标原点O到直线AF1的距离为

1|OF1|． 3第 19 页 共 61 页

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（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(?1,0)，较y轴于点M，若MQ?2QP，求直线l的方程． 山东2006理

x2y2??1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线。 双曲线C与椭圆84（I） 求双曲线C的方程；

(II)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）。当PQ??1QA??2QB，且?1??2??8时，求Q点的坐标。 3解：

（Ⅱ）解法一：

由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。 设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1)，B(x2,y2) 则Q(?4,0) kPQ??1QA

44?(?,?4)??1(x1?,y1)

kk44?x???441??k?1k????1(x1?)? ??k?k?4???4??yy???111??1?A(x1,y1)在双曲线C上，

?161??1216()??1?0 2k?1?1162k?k2?2?0. 316?(16?k2)?12?32?1?16?k2?0.

316222k?0. 同理有：(16?k)?2?32?2?16?3?16?32?1?16?12?若16?k?0,则直线l过顶点，不合题意.?16?k?0,

22??1,?2是二次方程(16?k2)x2?32x?16?162k?0.的两根. 3第 20 页 共 61 页