高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题八系列4选讲第一讲坐标系与参数方程适考素能特训文

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专题八 系列4选讲 第一讲 坐标系与参数方程适考素能特训 文

1．[2016·合肥质检]在直角坐标系xOy中，曲线C：?

?x＝2cosα＋1，?y＝2sinα＋1

(α为参数)，

在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ＋ρcosθ＝m.

(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系； (2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为

2

2

，求实数m的取值范围． 2

2

解 (1)曲线C的普通方程为：(x－1)＋(y－1)＝2，是一个圆；当m＝0时，直线l的直角坐标方程为：x＋y＝0，

圆心C到直线l的距离为d＝切．

|1＋1－m|32

(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝≤，解得－1≤m≤5. 22

21＋13

?x＝－1－t，?2

2．[2016·湖南四校联考]已知直线l的参数方程为?

1

y＝3＋t??2

|1＋1|1＋1

2

2

＝2＝r，r为圆C的半径，所以直线l与圆C相

(t为参数)，

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝π??4sin?θ－?.

6??

(1)求圆C的直角坐标方程；

π??(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin?θ－?的公共点，求3x＋y的取值范围．

6??π??解 (1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin?θ－?， 6??π?1?3??2

所以ρ＝4ρsin?θ－?＝4ρ?sinθ－cosθ?

6??2?2?又ρ＝x＋y，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以x＋y＝23y－2x，

所以圆C的普通方程为x＋y＋2x－23y＝0. (2)设z＝3x＋y，

由圆C的方程x＋y＋2x－23y＝0?(x＋1)＋(y－3)＝4， 所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2，

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2

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2

2

1

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3

?x＝－1－t，?2将?

1

y＝3＋t??2

代入z＝3x＋y得z＝－t.

又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2，

即3x＋y的取值范围是[－2,2]．

?x＝6cosφ，3．[2016·山西质检]已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：?

?y＝2sinφ(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(φ为参数)．以

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．

π?36?2

解 (1)C1：ρsin?θ＋?＝，C2：ρ＝. 2

6?21＋2sinθ?(2)∵M(3，0)，N(0,1)，∴P?

?31?

，?， ?22?

π

∴OP的极坐标方程为θ＝，

6

π?π3??π?把θ＝代入ρsin?θ＋?＝得ρ1＝1，P?1，?. 6?26?6??π6?π?2

把θ＝代入ρ＝得ρ2＝2，Q?2，?. 2

6?61＋2sinθ?∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.

4．[2016·长春质量监测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

?x＝2＋tcosα，

?

?y＝3＋tsinα

(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C2的极坐标方程为ρ＝8cos?θ－?.

3

??

π?

?

(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；

(2)若曲线C1和曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．

π??2

解 (1)对于曲线C2有ρ＝8cos?θ－?，即ρ＝4ρcosθ＋43ρsinθ，因此曲线

3??

C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x－43y＝0，其表示一个圆．

(2)联立曲线C1与曲线C2的方程可得：t－23sinα·t－13＝0，|AB|＝|t1－t2|＝

2

t1＋t2

2

－4t1t2＝23sinα2

－4×－13＝12sinα＋52，因此|AB|的最小值

2为213，最大值为8.

2