名师高中数学北师大版选修2-3同步导学案：2-5-2 离散型随机变量的方差 精品

第2课时 离散型随机变量的方差

1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)

2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理 离散型随机变量的方差的概念

阅读教材P61～P62“习题2－5”以上部分，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差和标准差 (1)方差DX＝________. (2)标准差为________．

【答案】 (1)E(X－EX) (2)DX 2．方差的性质 D(aX＋b)＝________. 【答案】 aDX 3．方差的意义

方差可用来衡量X与EX的________，方差越小，则随机变量的取值就越__________________；方差越大，则随机变量的取值就越________．

【答案】 平均偏离程度 集中在其均值周围 分散

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若X是常数，则DX＝0.( ) (3)若DX＝0，则X是常数．( )

(4)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么DY＝9DX.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√

2

2

2．已知随机变量X的分布列是

X P(X) 则DX等于( ) A．0 C．1

B．0.8 D．2 1 0.4 2 0.2 3 0.4 【解析】 ∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2， ∴DX＝0.4×(1－2)＋0.2×(2－2)＋0.4×(3－2)＝0.8. 【答案】 B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：

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2

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[小组合作型] 求离散型随机变量的方差 编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.

【精彩点拨】 首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出Eξ和Dξ的值． 【自主解答】 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位学生全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，

21则P(ξ＝0)＝3＝；

A33

ξ＝1表示三位学生只有1位学生坐对了， C31

则P(ξ＝1)＝3＝；

A32

ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 11

则P(ξ＝3)＝3＝.

A36所以，ξ的分布列为

ξ 0 1 3 1

P 1 31 21 6111Eξ＝0×＋1×＋3×＝1；

326

111222

Dξ＝×(0－1)＋×(1－1)＋×(3－1)＝1.

326

求离散型随机变量的方差的类型及解决方法

1．已知分布列型(超几何分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下： (1)求均值；(2)求方差．

2．已知分布列是超几何分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， M?M?N－n(1)若X服从超几何分布，则DX＝n·?1－?.

N?N?N－1(2)若X～B(n，p)，则DX＝np(1－p)．

3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成1中的情况．

4．对于已知DX求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝aDX求解．

[再练一题]

1．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求Eξ和Dξ.

【解】 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，

C87

则P(ξ＝6)＝3＝. C1015

ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， C8C27

则P(ξ＝9)＝3＝.

C1015

ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， C8C21

则P(ξ＝12)＝3＝.

C1015∴ξ的分布列为

ξ 6 9 12 12213

2

P 7 157 151 15771∴Eξ＝6×＋9×＋12×＝7.8.

151515

771222

Dξ＝(6－7.8)×＋(9－7.8)×＋(12－7.8)×＝3.36.

151515

二项分布的方差 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的3

株数，数学期望Eξ为3，方差Dξ为. 2

(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率． 【精彩点拨】 (1)利用二项分布的期望与方差计算公式求解．(2)利用互斥事件的概率计算公式求解．

【自主解答】 由题意知，ξ0,1，…，n.

3(1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝，

211

得1－p＝，从而n＝6，p＝.

22ξ的分布列为 ξ P 0 1 641 6 642 15 643 20 644 15 645 6 646 1 64服从二项分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cnp(1－p)

kk

n－k

，k＝

(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)， 1＋6＋15＋202115＋6＋121

得P(A)＝＝，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－＝.

6432643221

所以需要补种沙柳的概率为.

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对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如

2

ξ＋＝

aDξ，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.