立体几何中的探索性问题

(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD.

1

因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD，

2

从而PA⊥BD.

1

因为AD∥BC，BC＝AD，

2

所以BC∥MD，且BC＝MD，

所以四边形BCDM是平行四边形，

1

所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.

2

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD，

所以平面PAB⊥平面PBD. 7. [2016·阳泉模拟] 如图7-41-10，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，BC＝1，AD＝3，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD.

(1)求证：AC⊥PD.

PE

(2)在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，求出的值；若不存在，

PA请说明理由．

解：(1)证明：∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，AC⊥CD，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面PCD， ∵PD?平面PCD，∴AC⊥PD.

PE1

(2)在线段PA上存在点E，使BE∥平面PCD，且＝.下面给出证明：

PA3

∵AD＝3，BC＝1，

∴在△PAD中，分别取PA，PD靠近点P的三等分点E，F，连接EF，BE，CF. PEPF11

∵＝＝，∴EF∥AD，且EF＝AD＝1. PAPD33又∵BC∥AD，∴BC∥EF，且BC＝EF， ∴四边形BCFE是平行四边形，

∴BE∥CF，又∵BE?平面PCD，CF?平面PCD， ∴BE∥平面PCD.

8．(10分)[2016·河南中原名校联考] 如图所示，在四棱锥S -ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△SAD是等边三角形，且SD＝2，BD＝23，AB＝2CD＝4.

(1)证明：平面SBD⊥平面SAD. (2)若E是SC上的一点，当E点位于线段SC上什么位置时，SA∥平面EBD？请证明你的结论．

(3)求四棱锥S-ABCD的体积．

解：(1)证明：∵△SAD是等边三角形， ∴AD＝SD＝2，又BD＝23，AB＝4， ∴AD2＋BD2＝AB2，∴BD⊥AD，

又∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD. ∴BD⊥平面SAD.

又BD?平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAD.

(2)当E为SC的三等分点，即ES＝2CE时，结论成立． 证明如下：连接AC交BD于点H，连接EH.

1

∵CD∥AB，CD＝AB，

2

CH1CE

∴＝＝，∴HE∥SA. HA2ES

又SA?平面EBD，HE?平面EBD， ∴SA∥平面EBD.

(3)过S作SO⊥AD，交AD于点O. ∵△SAD为等边三角形，

∴O为AD的中点，∴SO＝3.易证得SO⊥平面ABCD，

1

∴V四棱锥S -ABCD＝S梯形ABCD·SO. 31

∵S梯形ABCD＝×(2＋4)×3＝33，

2

∴V四棱锥S - ABCD＝3.

二、探索垂直关系

1．如图所示，在三棱锥P - ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，

PC上的动点，则下列说法错误的是( )

A．当AE⊥PB时，△AEF一定为直角三角形 B．当AF⊥PC时，△AEF一定为直角三角形

C．当EF∥平面ABC时，△AEF一定为直角三角形 D．当PC⊥平面AEF时，△AEF一定为直角三角形

答案：B [解析] 已知PA⊥底面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A， 则BC⊥平面PAB，BC⊥AE.

当AE⊥PB时，又PB∩BC＝B，则AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，A正确．

当EF∥平面ABC时，又EF?平面PBC，平面PBC∩平面ABC＝BC，则EF∥BC，故EF⊥平面PAB，则AE⊥EF，故C正确．

当PC⊥平面AEF时，PC⊥AE，又BC⊥AE，PC∩BC＝C，则AE⊥平面PBC，则AE⊥EF，故D正确．用排除法可知选B.

2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的

等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

答案：a或2a [解析] 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．当CF⊥DF时，设AF＝x，则A1F＝3a－x.

ACAF2ax

由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，即＝，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x

A1FA1D3a－xa

＝a或x＝2a.

3．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；

②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．

答案：①②③ [解析] 由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．

4.如图所示，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，E为线段AD1的中点，F

为线段BD1的中点.

(1)求证：EF∥平面ABCD；

D1D

(2)设M为线段C1C的中点，当的比值为多少时，DF⊥平面D1MB？并说明理由．

AD

解析：(1)证明：∵E为线段AD1的中点，F为线段BD1的中点，∴EF∥AB. ∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD. (2)当

D1D

＝2时，DF⊥平面D1MB. AD

∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD.

∵D1D⊥平面ABC， ∴D1D⊥AC.

∴AC⊥平面BB1D1D， ∴AC⊥DF.

∵F，M分别是BD1，CC1的中点， ∴FM∥AC. ∴DF⊥FM. ∵D1D＝2AD， ∴D1D＝BD.

∴矩形D1DBB1为正方形． ∵F为BD1的中点， ∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1＝F， ∴DF⊥平面D1MB.

5.如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．