「精选」2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数

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提示：设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0， 所以ex0＝1，即x0＝0， ∴点P(0,1)．

由点P(0,1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.

2．若点P是曲线y＝e上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离？ 提示：如图，当曲线y＝e在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，

则曲线y＝e在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(e)′＝e， ∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝e，得y0＝1，即P(0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为

2. 2

xxxxxx (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( ) A．5 C．35

axB．25 D．0

(2)设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. [思路探究] (1)设Px0，y0―→由y′|x＝x0＝2求Px0，y0

―→点到直线的距离求最小值

(2)求y′|x＝0―→由y′|x＝0＝2求a的值

[解析] (1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行． 2

∵y′＝，

2x－1∴y′|x＝x0＝

2

＝2， 2x0－1

解得x0＝1， ∴y0＝ln(2－1)＝0， 即切点坐标为(1,0)．

|2－0＋3|

∴切点(1,0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝5，

4＋1即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是5.

(2)令y＝f(x)，则曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝e，所以f′(x)＝(e)′＝e·(ax)′＝ae，所以f′(0)＝ae＝a，故a＝2.

[答案] (1)A (2)2

0

axaxaxaxax5 精选文档 可编辑修改

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母题探究：1.(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为25”，求m的值．

[解] 由题意可知，设切点P(x0，y0)，则

y′|x＝x0＝∴

2

＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)， 2x0－1

|2－0＋m|

＝25，解得m＝8或－12. 5

即实数m的值为8或－12.

2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积． [解] 由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0. 1111

令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝.∴SΔ＝××1＝. 2224

[规律方法] 本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.

[当 堂 达 标·固 双 基]

1．函数y＝(x－1)的复合过程正确的是( ) A．y＝u，u＝x－1 C．y＝t，t＝(x－1) [答案] A

2．函数y＝(2 017－8x)的导数y′＝( ) A．3(2 017－8x) C．－24(2 017－8x)

222

3

2

nn2

B．y＝(u－1)，u＝x D．y＝(t－1)，t＝x－1

n2

n2

n2nB．－24x

D．24(2 017－8x)

2

C [y′＝3(2 017－8x)×(2 017－8x)′ ＝3(2 017－8x)×(－8)＝－24(2 017－8x).] 3．函数y＝xcos 2x的导数为( ) A．y′＝2xcos 2x－xsin 2x B．y′＝2xcos 2x－2xsin 2x C．y′＝xcos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2xsin 2x B [y′＝(x)′cos 2x＋x(cos 2x)′ ＝2xcos 2x＋x(－sin 2x)·(2x)′ ＝2xcos 2x－2xsin 2x.]

4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________.

6

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222

2

2

2

22

2

2

2

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[解析] ∵f′(x)＝∴f′(1)＝3

[答案]

2

3

， 3x－1

33＝. 3－12

5．设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y3

＝x在(0,0)点相切．求a，b的值． 2

[解] 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.

1113

由f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝＋＋a，则f′(0)＝1＋2＋a＝2＋a，

x＋12x＋133

此即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得2＋a＝2，故a＝0.

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