「精选」2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数

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1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

学习目标：1.了解复合函数的概念(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．复合函数的概念

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．

思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？

[提示] 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝

y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

[基础自测]

1．思考辨析 (1)函数f(x)＝

1x＋

2是复合函数．( )

1

.( ) 1－x(2)函数f(x)＝ln(1－x)的导数是f′(x)＝

(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．函数y＝A．C．－

6x－6x－

1x－

3

2

的导数是( )

B．D．－

6x－6x－

，

×(3x－1)′

2

32

C [∵y＝∴y′＝－2×＝－

6x－

1x－1x－

323

.] 2

3．函数y＝sinx＋1是由________三个函数复合而成的． [答案] y＝u，u＝v＋1，v＝sin x [合 作 探 究·攻 重 难]

2

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求下列函数的导数． (1)y＝e

2x＋1

复合函数的导数 ；(2)y＝1x－

3

；

3

(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sinx＋sin 3x.

【导学号：31062030】

[解] (1)函数y＝e

2x＋1

可看作函数y＝e和u＝2x＋1的复合函数，

uu2x＋1

u∴y′x＝y′u·ux′＝(e)′(2x＋1)′＝2e＝2e(2)函数y＝

1x－

－3

3

.

可看作函数y＝u和u＝2x－1的复合函数，

－3

－4

∴y′x＝y′u·ux′＝(u)′(2x－1)′＝－6u ＝－6(2x－1)＝－

－4

6x－

4

.

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数， ∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝

3

3

－55

＝. uln 2x－1ln 2

(4)函数y＝sinx可看作函数y＝u和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数

y＝sin v和v＝3x的复合函数．

∴y′x＝(u)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′ ＝3u·cos x＋3cos v ＝3sinx cos x＋3cos 3x.

[规律方法] 1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤

22

3

[跟踪训练]

1．求下列函数的导数． (1)y＝10

3x－2

；(2)y＝ln(e＋x)；

x2

π?1?(3)y＝2sin?3x－?；(4)y＝.

6??1－2x[解] (1)令u＝3x－2，

2

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u则y＝10，

所以y′x＝y′u·ux′＝10ln 10·(3x－2)′ ＝3×10

3x－2

uln 10.

2

(2)令u＝e＋x，则y＝ln u， 1x2

所以y′x＝y′u·u′x＝·(e＋x)′＝

xu1e＋2xxx2·(e＋2x)＝x2. e＋xe＋xx (3)设y＝2sin u，u＝3x－

π

， 6

π?? 则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos?3x－?. 6?? (4)设y＝u，u＝1－2x，

则y′x＝y′u·u′x＝

(u)

1

′·(1－2x)′＝－u2

×(－2)＝(1－2x) .

复合函数与导数的运算法 求下列函数的导数． ln 3x(1)y＝x；

e(2)y＝x1＋x；

π??π??(3)y＝xcos?2x＋?sin?2x＋?. 2??2??11

[解] (1)∵(ln 3x)′＝×(3x′)＝，

3xx∴y′＝1

2

则的综合应用 xx－

x2

xx －ln 3x1－xln 3x＝＝. xexexx(2)y′＝(x1＋x)′＝x′1＋x＋x(1＋x)′ ＝1＋x＋22

222

x2

1＋x2

2

＝

＋2x1＋x. 2

1＋xπ??π??(3)∵y＝xcos?2x＋?sin?2x＋? 2??2??1

＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x，

2

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1x?1?∴y′＝?－xsin 4x?′＝－sin 4x－cos 4x·4 22?2?1

＝－sin 4x－2xcos 4x.

2

[规律方法] 1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不易用求导法则求导的函数，可适当地进行等价变形，以达到化异求同、化繁为简的目的

2.复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导.

[跟踪训练]

2．求下列函数的导数．

(1)y＝sin；(2)y＝sinx＋sin x；

3(3)y＝

；(4)y＝xln(1＋x). 1－x【导学号：31062031】

2

1－cos x3

[解] (1)∵y＝，

2

1

2

x33

?cos 2x?12

3?′＝sin x. ∴y′＝?1

?－?33

2??2

(2)y′＝(sinx＋sin x)′ ＝(sinx)′＋(sin x)′ ＝3sinxcos x＋cos x·3x ＝3sinxcos x＋3xcos x. 0－

(3)y′＝＝

1－x1－x1－x. 1－x1－2

1

－x－

21－x－x

2

2

3

2

3

2

3

3

3

3

＝(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′ ＝ln(1＋x)＋.

1＋xx [探究问题] x导数运算法则的综合应用 1．若直线y＝x＋b与曲线y＝e相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？

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