4-3-3圆与扇形 题库教师版

【解析】 根据容斥原理得100?3?S阴影?2?42?144，所以S阴影?100?3?144?2?42?72（平方厘米）

【例 39】 (2008年国际小学数学竞赛)如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而

F是BC的中点．以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中S1和S2两块面积之差为mπ?n(cm2)(其中m、n为正整数)，请问m?n之值为何？

AES2GS1HDASS1ES2GHDB【解析】 (法1)SFCDEBF F1图1?2?4?8cm2，S扇形BCD??π?42?4π(cm2)，

4CC

1S扇形BFH??π?22?π(cm2)，而

4S1?S2?S扇形BCD?S扇形BFH?SFCDE?4π?π?8?3π?8(cm2)， 所以m?3，n?8，m?n?3?8?11．

(法2)如右上图，S?S1?SBFEA?S扇形BFH?2?4?2?2?π?4?8?π(cm2)， S?S2?SABCD?S扇形BCD?4?4?4?4?π?4?16?4π(cm2)，

所以，S1?S2?(8?π)?(16?4π)?3π?8(cm2)，故m?n?3?8?11．

【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)

【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方

形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇

ππ形减去小扇形，再减去长方形．则为：?4?4??2?2?4?2?3?3.14?8?1.42．

444-3-3 圆与扇形 题库 page 21 of 47

【例 40】 如图，矩形ABCD中，AB?6厘米，BC?4厘米，扇形ABE半径AE?6厘米，扇形CBF的半

径CB?4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)

AFDEBC

【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则

的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键．

我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD，

1所以不规则部分ABFD的面积为6?4??π?42?12(平方厘米)，

4再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积，

1则有阴影部分面积为?π?62?12?15(平方厘米)．

411方法二：利用容斥原理S阴影?S扇形EAB?S扇形BCF?S长方形ABCD?π?62?π?42?4?6?15(平方厘米)

44

【巩固】求图中阴影部分的面积．

121211211【解析】 阴影部分面积?半圆面积?扇形面积?三角形面积?π?()2?π?122??122?41.04．

2282

【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米，(π?3.14)

AD

FEBC

【解析】 观察可知阴影部分是被以AD为半径的扇形、以AB为直径的半圆形和对角线BD分割出来的，分头

求各小块阴影部分面积明显不是很方便，我们发现如果能求出左下边空白部分的面积，就很容易求出阴影部分的面积了，我们再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形ABD的面积减去扇形ADE的面积，那么我们的思路就很清楚了． 因为?ADB?45?，

4-3-3 圆与扇形 题库 page 22 of 47

4545?π?AD2??3.14?52?9.8125(平方厘米)， 3603601那么左下边空白的面积为：?5?5?9.8125?2.6875(平方厘米)，

221?5?又因为半圆面积为：?π????9.8125(平方厘米)，

2?2?所以扇形ADE的面积为：

所以阴影部分面积为：9.8125?2.6875?7.125(平方厘米)．

【例 41】 如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)

345?45?33AB3

3A1.51.5B31.5

【解析】 图中A、B两部分的面积分别等于右边两幅图中的A、B的面积．

927所以SA?SB??1.52π?1.5?3??4??32π?3?3?2??8??4?9?8?．

416

【巩固】图中阴影部分的面积是 ．(π取3.14)

33

【解析】 如右上图，虚线将阴影部分分成两部分，分别计算这两部分的面积，再相加即可得到阴影部分的面

积．

2?11?199?3?2所分成的弓形的面积为：?π????3????π?；

4?8?2??2?216?1199另一部分的面积为：π?32?32??π?；

848499992727所以阴影部分面积为：π??π???π??1.92375?1.92．

1688416833

【例 42】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以O1、O2、O3为圆心，求阴影部分

的面积．(π?3)

4-3-3 圆与扇形 题库 page 23 of 47

AO3O1

【解析】 图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积．而这一块的面积，等于大正方形的面

积减去一个90?扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：

12?S正方形?S扇形??S?S?4?20?20?π?20???75(平方厘米)，所以???20?20?100π??4???圆正方形????4阴影部分的面积为75?2?150(平方厘米)．

【例 43】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无

法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3) 【解析】 方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动时的情况如左下

图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍．

阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：

901每个角阴影部分面积为1?1?π?12??；

36041那么圆无法运动到的部分面积为 4??1

4O2B

方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如右上图所示，则阴影面积为2?2?3?12?1

【例 44】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π?3.14)

ABCO

【解析】 由于阴影部分是一个不规则图形，所以要设法把它转化成规则图形来计算．从图中可以看出，阴影

D部分的面积是一个45°的扇形与一个等腰直角三角形的面积差． 由于半圆的面积为62.8平方厘米，所以OA2?62.8?3.14?20． 因此：S△AOB?OA?OB?2?OA2?2?10(平方厘米)． 由于?AOB是等腰直角三角形，所以AB2?20?2?40．

4-3-3 圆与扇形 题库 page 24 of 47