[高二]第十四届希望杯全国数学邀请赛试题

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛

高二 第一试

2002年3月23日上午8：30至10：00

一、选择题（每小题5分，共50分） 1、 已知函数f(x)?2x?3,则函数f（A）y=

?1(x?1)的反函数是

（D）y=2X+2

x?5x?5 （B）y= （C）y=2X+5 222、 设０?x?1,a?cos(arcsinx),b?arcsin(cosx)，则a和b的大小关系是

(A)a?b. （B）a?b （C）a?b 3、 已知X?1.y?1.且

（D）不确定的。

11bx. ,lnx成等比列，则xy的 222(A)最大值是2. （B）最大值是e（C）最小值是2. （D）最小值是e2 4、 如图1、一个正方体的容器ABCD-A'B'C'D'中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两

个小孔，若恰当地将容器放置。可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

(A). 5、 函数y=

12 （B）

1 4 （C）

1 8 （D）

3 8x2?4?x2?2x?10的最小值是

（B）26 （C）17

（D）26 （A）25

6、Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点（)-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)that passes the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola is

(x?2)2(x?2)??1 (A)

25422

(y?2)2(x?2)??1 (B) 916(x?2)2(x?2)??1 (D)

91622

(x?2)2(x?2)??1 (C)

254

7、等差数列?an?中有两项an和ak，满足an?（A）

mk?1 2 （B）

mk 211、ak?，则该数列前mk项之和是 kmmk?1mk（C） （D）?1

22x?1的取值范围是 y?2（D）????

8、当x.yi满足条件x?1?y?1?1时，变量U=

（A）???11??? ?22?（B）???11??11??? （C）???? ?22??23??11??32?9、设?为椭圆上一点，且?pF1F2?30?,?pF1F2?45?，其中F1,F2为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于

（A）

(2?2)(1?3)

2 （B）

(2?2)(1?3)

2(2?2)(3?1)

22（C）

(2?2)(3?1)

2 （D）

10、Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)y?2xy?x?a?0(a?R)to the y-axis is

1,then the velue of a is 435(A)? (B)?

1616?3??5?

(C)?35or 1616

(D)?53or 1616二、组填空题（每小题5分，共50分） 11、arccos???-arctan7=________。

12、不等式Log1(

2x?1)-Log1(x?1)<-21的解集是_______。 213、图2是正方体的展开图，其中直线AB与CD在原正方体中的成角的大小是_______。 14、正四面体ABCD的棱长为1，E在BC上，F在AD上，BE=2EC，DF=2FA，则EF的 长度是_________。 15、Let a and

2abe the length of two sides of a rectangle (矩形)，rotate(旋转)the rectangle about its

diagonal(对角线)，then the volume(体积) of the revolution(旋转休) obtained is equal to________。

2216、方程x1?y?y1?x?1表示的曲线是___________________。

17、曲线x+y?y?m?0和它关于直线x?2y?1?0的对称曲线总有交点，那么m的取值范围是__________。

18、等比数行{an}的首项为a1=a.公比为q,则

22111?__________。 ????anan?1a1a2a2a319、在平面四边形ABCD内，占E和F分别在AD和BC上，且

????????????????????????????DE??EA,CF??FB(??R,???1)，用?,DC,AB表示EF=_______________。

20、延长平行四边形ABCD的边BC到F，AF依次交DB、DC于E、G，AE比EG大2，GF=5，则EG=________________。

三、B组填空题（每小题10分，共50分）

21、Given BC=1,?A??in a triangle（三角形）ABC, then the range of length of the side AB (or AC) is_____________________。

22、方程a?a?x?x的实数解最多有__________个，若方程有实数解，则a的取值范围是_____________________。

23、圆x?y?1和4x?4y?16x?8y?11?0的公切线的斜率是_____________________。

222224、数列{2}和{3n?2}的公共项由小到大排列成数列{cn}，则{cn}的通项公式cn=____________，前n项和Sn=_______________。 25、函数y?sinx?cosx?

n1的最大值等于__________，最小值等于_____________。

1?|sin2x|