三角函数的图像和性质知识点及例题讲解

三角函数的图像和性质

1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (余弦函数y=cosx x?[0,2?]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 y?sinx 性 质 ?3?,1) (?,0) (,-1) (2?,0) 22?3?,0) (?,-1) (,0) (2?,1) 22y?cosx y?tanx 图象 定义域 值域 当 R R ???xx?k??,k???? 2????1,1? x?2k????1,1? 时，当x?2k?时， R ?2?最ymax?1；当x?2k?? 值 2时，y??1． min时，ymin??1． 周期性 奇偶性 ymax?1；当x?2k??? 既无最大值也无最小值 2? 2? ? 奇函数 偶函数 奇函数 在?2k?????2,2k???? ?2?在?2k???,2k??上是增函在?k??单上是增函数； 数； 调?3??在?2k?,2k????上是减函性 ?在?2k??,2k??? ???2,k????? 2??22?上是增函数． 数． 上是减函数． 对对称中心?k?,0? 称?性 对称轴x?k?? 对称中心?k??对称轴x?k? - 1 -

????,0? 2?对称中心?无对称轴 ?k??,0? ?2?2

例作下列函数的简图

(1)y=|sinx|，x∈[0，2π]， (2)y=-cosx，x∈[0，2π]

例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合：

(1)sinx?

11(2)cosx?2 2

3、周期函数定义：对于函数y?f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x?T)?f(x)，那么函数y?f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 注意： 周期T往往是多值的（如y?sinx 2?,4?,…,-2?,-4?,…都是周期）周期T中最小的正数叫做

y?f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y?sinx, y?cosx的最小正周期为2? （一

般称为周期）

正弦函数、余弦函数：T?2??。正切函数： ??例求下列三角函数的周期：

1? y=sin(x+

x??) 2? y=cos2x 3? y=3sin(+) 4? y=tan3x

253例求下列函数的定义域和值域： （1）y?2?sinx （2）y?

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?3sinx （3）y?lgcosx

例5求函数y?sin(2x??3)的单调区间

例不求值，比较大小 ??23?17?)、sin(－)； (2)cos(－)、cos(－)． 181054???3??23?23?解：(1)∵－＜－＜－＜． (2)cos(－)＝cos＝cos

101825255??17?17??且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数 cos(－)＝cos＝cos

22444???3?∴sin(－)＜sin(－) ∵0＜＜＜π

101854??即sin(－)－sin(－)＞0 且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数

18103??∴cos＜cos

543??即cos－cos＜0

5423?17?∴cos(－)－cos(－)＜0

54(1)sin(－

4、函数y??sin??x??????0,??0?的图像： （1）函数y??sin??x??????0,??0?的有关概念： ①振幅：?； ②周期：??(2) 振幅变换

①y=Asinx，x?R(A>0且A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

③若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折 A称为振幅，这一变换称为振幅变换 王新敞奎屯新疆(3) 周期变换

①函数y=sinωx, x?R (ω>0且ω?1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

1倍（纵坐标不变） ?②若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图 ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换 (4) 相位变换

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一般地，函数y＝sin(x＋?)，x∈R(其中?≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?＞0时)或向右(当?＜0时＝平行移动｜?｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)

y＝sin(x＋?)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变

换 5、小结平移法过程（步骤） 作y=sinx（长度为2?的某闭区间） 沿x轴平 移|φ|个单位 横坐标 伸长或缩短

得y=sinωx 得y=sin(x+φ) ?沿x轴平 移||个单位 ?横坐标伸 长或缩短 得y=sin(ωx+φ) 得y=sin(ωx+φ)

纵坐标伸 长或缩短 纵坐标伸 长或缩短

得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一6、函数y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，则??

例 如图e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜

11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 222?的一段图象，2图e

则f（x）的表达式为

例 如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )

4?34?BA＝1，Ｔ＝

32?CA＝1，Ｔ＝

34?DA＝1，Ｔ＝

3

AA＝3，Ｔ＝

? 63?，φ＝－

43?，φ＝－

4?，φ＝－

6，φ＝－

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