全国卷历年真题精讲精练专题一 –-数列

8．[2014·全国卷] 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( ) A．31 B．32 C．63 D．64

8．C [解析] 设等比数列{an}的首项为a，公比为q，易知q≠1，根据题意可得a（1－q2）??1－q＝3，

6

a（1－q）a2

解得q＝4，＝－1，所以S＝＝(－1)(1－43)＝63. 6?a（1－q4）1－q1－q

??1－q＝15，

17．，[2014·福建卷] 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an；

(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn. 17．解：(1)设{an}的公比为q，依题意得 ?a1q＝3，?a1＝1，?4解得? ?a1q＝81，?q＝3.因此，an＝3n－1.

(2)因为bn＝log3an＝n－1，

n（b1＋bn）n2－n所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝2. 2

3n2－n

17．、、[2014·江西卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

2(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

3n2－n

17．解：(1)由Sn＝2，得a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，a1也符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.

(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a2am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝n＝a1·3n2－4n＋2.而此时m∈N*，且m＞n，

所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． 考点3：数列求和

n2＋n16．、[2014·湖南卷] 已知数列{an}的前n项和Sn＝2，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 16.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；

13

n2＋n（n－1）2＋（n－1）

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－＝n.

2故数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 2（1－22n）2n＋1

则A＝＝2－2，

1－2

B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

15．、[2014·北京卷] 已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和．

15．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d＝

a4－a112－3

3＝3＝3.

所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)． 设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得 b4－a420－12q3＝＝＝8，解得q＝2.

b1－a14－3所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1. 从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)． (2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．

1－2nn3n－1

数列{3n}的前n项和为2n(n＋1)，数列{2}的前n项和为1×＝2－1，

1－23

所以，数列{bn}的前n项和为2n(n＋1)＋2n－1.

17．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根． (1)求{an}的通项公式；

?an?

(2)求数列?2n?的前

??

n项和．

17．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

14

由题意得a2＝2，a4＝3.

设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d， 13故d＝2，从而得a1＝2. 1

所以{an}的通项公式为an＝2n＋1.

?an?ann＋2(2)设?2n?的前n项和为Sn，由(1)知2n＝n＋1，

2??

n＋1n＋234

则Sn＝22＋23＋…＋2n＋n＋1，

2n＋1n＋2134

S＝＋＋…＋＋， 2n23242n＋12n＋2两式相减得

1?n＋231?1?n＋2n＋413?1

＋…＋1－3＋－????S＝＋－＝＋－，所以S＝2－. n1n1＋＋n

2?2n244?2?2n22n4?22n＋119．，，[2014·山东卷] 在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝an(n?1)，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.

219．解：(1)由题意知，(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)， 即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2. 故数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题意知，bn＝an(n?1)＝n(n＋1)，

2所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)． 因为bn＋1－bn＝2(n＋1)， 所以当n为偶数时，

Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn) ＝4＋8＋12＋…＋2n n

（4＋2n）2＝ 2n（n＋2）＝，

2当n为奇数时，

15

Tn＝Tn－1＋(－bn) ＝

（n－1）（n＋1）

－n(n＋1)

2

（n＋1）2＝－. 2

（n＋1）2??－2，n为奇数，

所以Tn＝?

n（n＋2）??2，n为偶数.

18．[2014·安徽卷] 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.

?an?

(1)证明：数列?n?是等差数列；

??

(2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Sn.

?an?an＋1anan＋1ana1??18．解： (1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1，所以n是以1＝1为首项，1

n＋1nn＋1n??

为公差的等差数列．

an(2)由(1)得n＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2， 从而可得bn＝n·3n.

Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，① 3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.② ①－②得－2Sn＝3＋3＋…＋3－n·3（2n－1）·3n＋1＋3所以Sn＝.

4

19．[2014·四川卷] 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)． (1)证明：数列{bn}为等比数列；

12(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－ln 2，求数列{anbn}的前n项和Sn.

19．解：(1)证明：由已知得，bn＝2an＞0， bn＋1

当n≥1时，b＝2an＋1－an＝2d.

n

16

1

2

n

n＋1

3·（1－3n）3n＋1－3n＋1（1－2n）·＝－n·3＝，

21－3