2016届四川省成都七中高三上学期10月段考数学（理）试题 解析版

P(X?400)?1?136?? 101010300 3 10所以X的分布列为 X P EX?350 200 1 10400 6 10考点：古典概型概率，分布列和数学期望 20．（本小题满分12分）已知函数f(x)?sin(?x??),(0???1,0????)是R上的偶函数，其图象关于点M

对称

（1）求?,?的值；

（2）求f(x)的单调递增区间； （3）x∈答案：（1）??，求f（x）的最大值与最小值．

?23? ，??. （2）[3k??,3k?],k?Z （3）最小值0，最大值1 223试题分析：（1）由偶函数性质知??再f(?2?k?(k?Z),0????????2，f(x)?cos?x，

根3??)4据?0其图象o?关3?s??k4于点M?Z4对2称得23?3??c4??0?k2? ?,??k??(0,1)????.

33223?（2）由余弦函数性质得：f(x)?cosx,???2k??x?2k?,3k???x?3k?，k?Z

332解得增区间：[3k??试题解析：（1）??f(3?,3k?],k?Z （3）根据余弦函数性质求得最值 22，f(x)?cos?x

?3?3?3??42)?0?cos??0???k??,k?Z???k? 4442332???(0,1)???.

3（2）[k3??3?2223?f(x)?cosx,???2k??x?2k?,3k???x?3k?，k?Z，增区间

332?,k3?k] ,Z2???x????3（3）????[?,]?cos??[0,1]

23?x?[?3?,?]??42?3?当???,x??时f(x)取最小值0

24当??0,x?0时取f(x)最大值1

考点：偶函数性质，余弦函数性质

21．（本小题满分12分）己知函数f（x）= ln1?x 1?x试卷第9页，总12页

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

?x3?（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）>2?x??

3???x3?（3）设实数k使得f（x）>k?x??对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．

3??答案：（1）y?2x （2）详见解析 （3）2． 试题分析：（1）求导：f(x)?ln1?x11?f?(x)??，利用导数几何意义得1?x1?x1?x切线斜率：k?f?(0)?2，又f(0)?0 ，由点斜式得切线方程：y?2x （2）利用导数

x3x3证明不等式，实质利用导数求对应函数最值：f(x)?2(x?)?f(x)?2(x?)?0，

33x3令g(x)?f(x)?2(x?) ，只需证g(x)min?0 （3）恒成立问题，一般利用变量分离转

3?x3?化为对应函数最值，这较繁且难，本题由（2）知k?2时f(x)?k?x??在（0，1）

3???x3?上恒成立，只需证明当k?2时，f(x)?k?x??在（0，1）上不恒成立，这样就简单

3??多了．

试题解析：（1）y?2x

x32x4（2）g(x)?f(x)?2(x?)?g?(x)?,x?(0,1)?g?(x)?0?g(x)?g(0)?0，结

31?x2论成立

?x3?（3）由（2）知k?2时f(x)?k?x??在（0，1）上恒成立

3???x3?kx4?k?2当k?2时，令h(x)?f(x)?k?x??,则h?(x)?, 231?x??当0?x?4?x3?k?2时， h?(x)?0,h(x)?h(0)?0，即当k?2时，f(x)?k?x??在（0，k3??1）上不恒成立

k的最大值为2．

考点：导数几何意义, 利用导数证明不等式，利用导数求数最值

【名师点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应

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用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 22．（本小题满分14分）

（1）已知ex≥ax +1，对?x?0恒成立，求a的取值范围； （2）己知xe?f(x)?1?e?x，0

试题分析：（1）本题分离变量求最值涉及洛必达法则，就从导函数f?(x)?ex?a零点讨论出发：当a?1时，无零点，函数单调，f?(x)?0?f(x)?f(0)?0，当a?1时，有零点，函数有增有减，而f(0)?0 ，因此存在f(x)?f(0)?0与已知不符（2）先化简：

m． 2f(x)?x?lnx?ln(ex?1),因此证明不等式转化为证明f?(x)max?最值：f?(x)?0?f(x)?f(m)，从而转化证明f(m)?m,再利用导数求函数2m，利用分析法可得：2mmm?mmem?1mem?1m22f(m)??m?lnm?ln(e?1)??ln???e?e?e2?m，令

22m2mt?m，则只需证et?e?t?2t，最后构造函数g(t)?et?e?t?2t,(t?0)，利用导数证明． 2试题解析：（1）f(x)?ex?(ax?1),f?(x)?ex?a 当a?1时，x?0?ex?1?f?(x)?0?f(x)?f(0)?0，

当a?1时，0?x?lna?ex?a?f?(x)?0?f(x)?f(0)?0 与已知不符 综上a?1

（2）xe?f(x)?1?e?x?f(x)?x?lnx?ln(ex?1),x?(0,m)?f?(x)?由（1）知ex?x?1?ex?1?x?0?要

11 ?xxe?111?x?f?(x)?0?f(x)?f(m) xe?1证

mmm?mmmem?1mem?1mf(x)??f(m)??m?lnm?ln(e?1)??ln???e2?e?e?m222m2m 令t?m2，则只需证et?e?t?2t，设

g(t?)et?e?t?tt2?,(，则

g?(t?)et?e?t??2?g0t?g(?)

所以et?e?t?2t对t?0恒成立，即f(x)?m 2考点：利用导数求函数最值，利用导数研究函数零点

【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．在解函数的综合应用问题时,我们常常借助导数,将题中千变万化的隐藏信息进行转化，探究这类问题的根本，从本质入手,进而求解，利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等

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式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式．

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