小学奥数-格点型面积

毕克定理

若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为S?N?L?1． 2

【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？

【解析】 图形内部格点数N?9；图形边界上的格点数L?20 ；根据毕克定理， 则S?N?面积)．

【例 9】 右图是一个8?12面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．

HGACBEDFL?1?18(单位2

【解析】 箭形ABCDEFGH的面积?（8?10?2?1）?4?8?（4?2?1）?2?12?32?2?46(面积单位)．

【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？

【解析】 图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．

所以图形的面积为：54?19?2?1?62.5(面积单位)．

【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？

【解析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+

L为图形周界上格点数．

L-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，27-1)×1=6．5(平方厘米) 2有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+

page 5 of 10 方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，

有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l+1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．

【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)5?5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点

称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是 平方厘米．

【解析】 为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成

面积最大．最大面积为5?5?0.5?3?23.5(平方厘米)．

【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21

日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？

【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都

可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．

7所占的面积为：2?15?2?1?8.5；2所占的面积为：24?2?1?11；1所占的面积为：

17?2?1?7.5．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5?11?7.5?27．

【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现

将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为5.12cm2，右下角的阴影部分(线状)面积为7.4cm2，求大正方形的面积．

【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个

19方格的面积是 （7.4?5.12）（?17?14）?（cm2）25大正方形的面积为19cm2．

【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四

边形CEPQ的面积．

page 6 of 10 APFAPFBQCDEBQCDE

【解析】 如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，

PEF面积?3，CDE面积?9，四边形ABQP面积?11．上述三块面积之和为3?9?11?23．因

此，阴影四边形CEPQ面积为54?23?31．

板块二 三角形格点问题

所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．

关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S表示面积，N表示图形内包含的格点数，L表示图形周界上的格点数，那么有S?2?N?L?2，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．

【例 15】 如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算

三角形ABC的面积．

ACBBAEFD(b)CBAⅡ'Ⅰ'ⅠⅢⅡⅢ'AECRBHFD(d)GC

【解析】 方法一：如图(b)所示，在ABC内连接相邻的三个点成DEF，再连接DC、EA、FB后是ABC

可看成是由DEF分别延长FD、DE、EF边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到SACD(a)(c)?2， SAEB?3，SFBC?4，所以S?1?2?3?4?10(面积单位)．

方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数

小正三角形的方法，求出ABC的面积为10．

方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE中有6个小正三角形，而ABE的面积是

平行四边形ARBE面积的一半，即SAEB?3，平行四边形ADCH中有4个小正三角形，而

ACDADC的面积是平行四边形ADCH面积的一半，即SS?1?2?3?4?10(面积单位)．

?2．平行四边形FBGC中有8个

FBC小正三角形，而FBC的面积是平行四边形FBGC的一半，即：S?4．所以

【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC的面积．

AC

【解析】 因为N?5；L?3：所以S?2?N?L?2?2?5?3?2?11(面积单位)．

page 7 of 10 B

【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．

⑴⑵⑷⑶

【解析】 ⑴ ∵L?7；N?7，∴S?2?N?L?2?2?7?7?2?19(面积单位)；

⑵ ∵L?5；N?8，∴S?2?N?L?2?2?8?5?2?19(面积单位)； ⑶ ∵L?6；N?7，∴S?2?N?L?2?2?7?6?2?18(面积单位)； ⑷ ∵L?7；N?8，∴S?2?N?L?2?2?8?7?2?21(面积单位)．

【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中

粗线所围成的三角形的面积．

【解析】 图中有1?3?5?7?9?11?13?15?64(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128?64?2，

图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；

图形的面积为：2?12?4?2?26(面积单位)，进而得图形的面积为：26?2?52．

【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

【解析】 法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格

点数，L为图形周界上格点数．

有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．

法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．

【例 19】 把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得

到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．

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【解析】 图1中阴影部分占整个三角形面积的

部分的面积为294÷

1612，图2中阴影部分占整个三角形面积的，故图2中阴影

4925

1216?=200(平方分米)． 2549

【例 20】 将图中的图形分割成面积相等的三块．

【解析】 如右图所示．

【例 21】 如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？

【解析】 如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三

角形．

而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．

【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中

点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？

AMBFPEBRCNDCNDSMAQFPE

【解析】 将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个

小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是

6?24?0.25(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积

(平方厘米)． ?0.25?9?2.25

【例 23】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是

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