对称性在各种积分中的定理

对称性在积分计算中的应用

定理2.1.1[3] 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于

(x,y)?D，即f(x,?y)??f(x,y)， x轴对称.如果函数f(x,y)是关于y的奇函数，

则??f(x,y)d??0；如果f(x,y)是关于y的偶函数，即f(x,?y)?f(x,y)，

D(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d?.

DD1其中D1是D在x轴上方的平面区域.

同理可写出积分区域关于y轴对称的情形. 则由定理2.1.1知??y3sin2xd??0.

D由定理2.1.1可得如下推论.

推论2 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，若积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，则

⑴ 若函数f(x,y)关于变量x,y均为偶函数，则??f(x,y)d??4??f(x,y)d?.

DD1其中D1是区域D在第一象限的部分，D1??(x,y)?D|x?0,y?0?.

⑵ 若函数f(x,y)关于变量x或变量y为奇函数，则??f(x,y)d??0.

D

当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

4定理2.1.2?? 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于

原点对称.如果f(?x,?y)??f(x,y)，(x,y)?D，则

????f(x,y)dDD20；如果

f(?x,?y)?f(x,y)，(x,y)?D，则??f(x,y)d??2??f(x,y)d??2??f(x,y)d?，

DD1其中D1??(x,y)?D|x?0?，D2??(x,y)?D|y?0?.

为了叙述的方便，我们给出区域关于x,y的轮换对称性的定义.

定义2.1.1 设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(x,y)?D，存在(y,x)?D，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于x,y具

有轮换对称性.

关于区域的轮换对称性，有如下定理.

定理2.1.3[5] 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于

x,y具有轮换对称性，则??f(x,y)d????f(y,x)d?.

DD定理2.2.1[6] 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且

?关于坐标平面x?0对称，则

(1) 若f(x,y,z)是关于变量x的奇函数，则???f(x,y,z)dV?0；

?(2) 若f(x,y,z)是关于变量x的偶函数，则

???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV.

??1其中?1是?的前半部分，?1??(x,y,z)??|x?0?.

同理可写出?关于坐标平面y?0（或z?0）对称时的情形.

与二重积分类似，我们也可得到如下结论.

定理2.2.2 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?关于原点对称，则

(1) 若f(?x,?y,?z)??f(x,y,z)，(x,y,z)??，则???f(x,y,z)dV?0；

?(2) 若f(?x,?y,?z)?f(x,y,z)，(x,y,z)??，则

???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV?2???f(x,y,z)dV.

??1?2?3其中?1??(x,y,z)??|x?0?，?2??(x,y,z)??|y?0?，?3??(x,y,z)??|z?0?

为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义. 定义2.2.1[7] 设?是一有界可度量的集几何体（?可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的(x,y,z)??，都存在(y,z,x)??，存在(z,x,y)??，则称?关于x,y,z具有轮换对称性.

关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.

定理2.2.3 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域?上的连续函数，且?

关于x,y,z具有轮换对称性，则???f(x,y,z)dV????f(y,z,x)dV????f(z,x,y)dV.

???3.1 对称性在第一型曲线积分计算中的应用

本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论.

定理3.1.1[9] 设平面分段光滑曲线L关于y轴（或x轴）对称，且f(x,y)在

L上有定义、可积，则

(1) 若f(x,y)为关于x（或y）的奇函数，则?f(x,y)ds?0；

L(2) 若f(x,y)为关于x（或y）的偶函数，则?f(x,y)ds?2?f(x,y)ds.

LL1其中L1??(x,y)?L|x?0(或y?0)?. 由定理3.1.1可得如下推论.

推论3 设平面分段光滑曲线L关于x轴对称且关于y轴对称，且f(x,y)在

L上有定义、可积，则

⑴ 若f(x,y)关于x,y均为偶函数，则?f(x,y)ds?4?f(x,y)ds，

LL1其中L1??(x,y)?L|x?0,y?0?.

(2) 若f(x,y)关于x或y为奇函数，即f(x,?y)??f(x,y)或

f(?x,y)??f(x,y)，(x,y)?L，则?f(x,y)ds?0.

L当曲线L关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

定理3.1.2 设平面分段光滑曲线L关于原点对称，且f(x,y)在L上有定义、可积，则

(1) 若f(?x,?y)??f(x,y)，(x,y)?L，则?f(x,y)ds?0；

L(2) 若f(?x,?y)?f(x,y)，(x,y)?L，则?f(x,y)ds?2?f(x,y)ds.

LL1其中L1为L的上半平面或右半平面.

关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.

定理3.1.3 设平面分段光滑曲线L关于x,y具有轮换对称性，且f(x,y)在

L上有定义、可积，则?Lf(x,y)ds??Lf(y,x)ds.

定理3.2.1 设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)为定义在L上的连续函数；

⑴ 当L关于x轴对称时：

① 若P(x,y)是关于y的偶函数，则?P(x,y)dx?0；

L 若P(x,y)是关于y的奇函数，则?P(x,y)dx?2?P(x,y)dx，

LL1 ② 若Q(x,y)是关于y的奇函数，则?Q(x,y)dy?0；

L 若Q(x,y)是关于y的偶函数，则?LQ(x,y)dy?2?LQ(x,y)dy；

1其中L1是L位于x轴上方的部分.

⑵ 当L关于y轴对称时：

① 若P(x,y)是关于x的奇函数，则?P(x,y)dx?0；

L 若P(x,y)是关于x的偶函数，则?P(x,y)dx?2?P(x,y)dx；

LL1 ② 若Q(x,y)是关于x的偶函数，则?Q(x,y)dy?0；

L 若Q(x,y)是关于x的奇函数，则?LQ(x,y)dy?2?LQ(x,y)dy；

1其中L1是L位于y轴右方的部分.

⑶ 当L关于原点对称时：

① 若P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)为偶函数，即P(?x,?y)?P(x,y) 且Q(?x,?y)?Q(x,y)，(x,y)?L，则?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0；

L② 若P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)为奇函数，即P(?x,?y)??P(x,y) 且Q(?x,?y)??Q(x,y)，则?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?2?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy.

1其中L1为对于轮换对称性，我们有如下定理.

定理3.2.2 设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)为定义在L上的连续函数.若曲线L关于x,y具有轮换对称性，则?P(x,y)dx??P(y,x)dy.

LLL的右半平面或上半平面部分.