2018届重庆中考复习：二次函数相关的存在性问题习题练习(含答案)

如图①，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F.

22222

在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，∴BC＝OB＋OC＝3＋3＝18.

22222

在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF－OC＝4－3＝1，∴CD＝CF＋DF＝1＋1＝2.

22222

在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB－OE＝3－1＝2，∴BD＝BE＋ED＝2＋4＝20.

222

∴BC＋CD＝BD，故△BCD为直角三角形．

(3)存在．连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点P为(0，0)．

如图②，过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1，

1

可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合条件的点为P1(0，)．

3

过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，

可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，求得符合条件的点为P2(9，0)．

1

∴综上所述，点P的坐标为(0，0)或(0，)或(9，0)．

3

2. 解：(1)∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为－2，

12

∴y＝×(－2)＝1，∴A点的坐标为(－2，1)，

4

设直线的解析式为y＝kx＋b，

3???k＝，?b＝4，3

将(0，4)，(－2，1)代入得?解得?2∴直线的解析式为y＝x＋4.

2??－2k＋b＝1，??b＝4.

312

∵直线与抛物线相交，∴x＋4＝x，

24

解得x＝－2或x＝8，当x＝8时，y＝16， ∴点B的坐标为(8，16)；

(2)如图，过点B作BG∥x轴，过点A作AG∥y轴，交点为G，

222

∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB＝AG＋BG＝325.

2222

设点C(m，0)，同理可得AC＝(m＋2)＋1＝m＋4m＋5， 2222

BC＝(m－8)＋16＝m－16m＋320.

222

①若∠BAC＝90°，则AB＋AC＝BC，

22

即325＋m＋4m＋5＝m－16m＋320，

1

解得：m＝－；

2

222

②若∠ACB＝90°，则AB＝AC＋BC，

22

即325＝m＋4m＋5＋m－16m＋320， 解得：m＝0或m＝6；

222

③若∠ABC＝90°，则AB＋BC＝AC，

22

即m＋4m＋5＝m－16m＋320＋325，解得：m＝32；

1

∴点C的坐标为(－，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0)．

2

3. 解：(1)由题意知A(2，0)，C(0，－4)，

1

对于y＝－x－4，令y＝0，解得x＝－8，∴D(－8，0)，

2

∴OD＝8.∵A(2，0)、C(0，－4)，∴AD＝2－(－8)＝10.

2222222

∵AC＝2＋4＝20，DC＝8＋4＝80，AD＝100，

222

∴AC＋CD＝AD，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，

128128

设P(n，n＋n－4)，CH＝|n＋n|，

5555

以P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似，分两种情况：

ACCH

ⅰ)当△ACD∽△CHP时，＝，

CDHP

128128－n－nn＋n552 5552 5

即＝或＝，

－n－n4 54 5解得n1＝0(舍)，n2＝－5.5，或n3＝0(舍)，n4＝－10.5；

ACPH

ⅱ)当△ACD∽△PHC时，＝，

CDHC

－n2 5－n＝或＝，

1284 54 5128－n－nn＋n5555

解得n5＝0(舍)，n6＝2，或n7＝0(舍)，n8＝－18；

综上所述，当P点横坐标为－5.5或－10.5或2或－18时，以P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．

57572

4. 解： 把x＝代入y＝－x＋2x＋3，得y＝.∴N(，)．

2424

1

∵C(0，3)，∴直线CN的解析式为y＝－x＋3.

2

1

设P(x，－x＋3)，显然C不可能为直角顶点，

2

①当点P为直角顶点，且在线段CN上时：

3x92x

∵PC＝PQ，∴Q(x，＋3)．∴－x＋3x＋3＝＋3，

2242

101022

解得x＝或x＝0.∴P1(，)或P1(0，3)(舍)．

999即

∴CP1＝

2

?10?＋（3－22）2＝5 5. ?9?99??

2 5

②当点P为直角顶点，且在CN延长线上时：

x3123

∵PC＝PQ，∴Q(，－x＋3)，∴－x＋x＋3＝－x＋3，

2242

解得x＝10或x＝0(舍)，∴P2(10，－2)，

22

∴CP2＝（10）＋（3＋2）＝5 5.

③当点Q为直角顶点，且在直线CN上方的抛物线上时：

319231

∵CQ＝PQ，∴Q(x，3＋x)，∴－x＋x＋3＝3＋x，

441624

20

解得x＝或x＝0(舍)．

9201710 5∴P3(，)，∴CP3＝.

999

④当点Q为直角顶点，且在直线CN下方的抛物线上时：

x3

∵CQ＝PQ，∴Q(，－x＋3)．

44

1213

∴－x＋x＋3＝－x＋3，

1624解得x＝20或x＝0(舍)，

∴P4(20，－7)，∴CP4＝10 5.

5 510 5

综上所述，CP的长度为，5 5，，10 5.

99

与四边形有关的存在性问题：

例3. 解：(1)令y＝0，解得x1＝－1或x2＝3， ∴A(－1，0)，B(3，0)；

2

将C点的横坐标x＝2代入y＝x－2x－3，得y＝－3， ∴C(2，－3)．

∴直线AC的函数解析式是y＝－x－1. (2)设P点的横坐标为x(－1≤x≤2)，

2

则P、E的坐标分别为：P(x，－x－1)，E(x，x－2x－3)． ∵P点在E点的上方，

12922

∴PE＝(－x－1)－(x－2x－3)＝－x＋x＋2＝－(x－)＋. 24

19

∴当x＝时，PE的最大值为.

24

(3)①如图①，AF为平行四边形的边时，AF綊GC， ∵G(0，－3)，GC＝2，∴AF＝2，∵A(－1，0)， ∴F1(－3，0)，F2(1，0)；

②如图②，AF为平行四边形的对角线时， 则平行四边形ACFG的对称中心为AF中点， 且这个对称中点在x轴上，

而顶点G与C也关于这个对称中心成中心对称， 因为yC＝－3，所以yG＝3，

22

对y＝x－2x－3，令y＝3，即x－2x－3＝3，

解得x＝1±7，所以G(1＋7，3)，G′(1－7，3)，

3＋73－7

所以对称中心为(，0)或(，0)，故F3(4＋7，0)，F4(4－7，0)．

22

综上所述，存在4个这样的点F，分别是F1(－3，0)，F2(1，0)，F3(4＋7，0)，F4(4－7，0)．

针对训练：

2

1. 解：∵由题意知A(1，0)，把它代入y＝a(x＋1)＋4，得a＝－1，

22

∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)＋4，即y＝－x－2x＋3.

2

解方程－x－2x＋3＝x－1得x1＝1(舍)，x2＝－4，∴B(－4，－5)． 2

由－x－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1(舍去)． ∴C(－3，0)．

∵C(－3，0)，E(－1，－2)，B(－4，－5)， ∴CE＝2 2，BE＝3 2，CB＝26. ∴∠CEB＝90°.

(i)以BC为对角线，点E矩形的顶点时，如图①所示，

易求得直线CD的解析式为y＝x＋3，直线BD的解析式为y＝－x－9. ?y＝x＋3，??x＝－6，?由?得?此时D(－6，－3)． ??y＝－x－9y＝－3.??

(ii)以BC为边，点E在BC对边上时，如图②所示， 过点B作y轴的平行线交x轴于点N，过点M作MT⊥BN.

6 26

由面积关系得BM＝.由△BTM∽△CNB，

13

BTMTBM＝＝. CNBNBC

6302271

∴BT＝，MT＝.∴M(－，－)．

13131313

过点F作FK⊥x轴于点K，由△FKC∽△PNB， FKCKFC63096

得＝＝.∴FK＝，CK＝.∴F(－，－)． CNBNCB13131313

∴当B，E在矩形同一边时，未知点的坐标为D(－6，－3)， 当B，C在矩形同一边时，未知点的坐标为

227196

M(－，－)，F(－，－)．

13131313

2

2. 解：∵x＋2x－3＝0， ∴A(－3，0)，B(1，0)．

∵点C是点A关于点B的对称点， ∴点C的坐标是C(5，0)．

∵点F是线段BC的中点，B(1，0)，C(5，0)， ∴点F的坐标为F(3，0)．

∵直线l过点F且与y轴平行， ∴直线l的函数表达式为x＝3.

∵点M在直线l上，点N在抛物线上，

2

∴设点M的坐标为M(3，m)，点N的坐标为N(n，n＋2n－3)． ∵A(－3，0)，C(5，0)，∴AC＝8. 分情况讨论：

①若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的边，则MN∥AC，且MN＝AC＝8.

当点N在点M的左侧时，MN＝3－n.∴3－n＝8，解得n＝－5.∴N点的坐标为N(－5，12)． 当点N在点M的右侧时，MN＝n－3.∴n－3＝8，解得n＝11.∴N点的坐标为N(11，140)． ②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，

由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称． ???3＋n＝2，?n＝－1，

?故?解得即点N的坐标为(－1，－4)． 2

??m＋n＋2n－3＝0，m＝4，??

综上所述，当点N的坐标为(－5，12)，(11，40)，(－1，－4)时，以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

3. 解：(1)A(－1，0)；

∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，解得b＝k. ∴直线l的表达式为y＝kx＋k.

22

令ax－2ax－3a＝kx＋k，即ax－(2a＋k)x－3a－k＝0. ∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4.

k

∴－3－＝－1×4，∴k＝a.

a

∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a.

(2)如图，过点E作EF∥y轴，交直线l于点F.

2

设E(x，ax－2ax－3a)，则F(x，ax＋a)．

22

EF＝ax－2ax－3a－(ax＋a)＝ax－3ax－4a. S△ACE＝S△AFE－S△CFE 1212

＝(ax－3ax－4a)(x＋1)－(ax－3ax－4a)x 22得